Yaranma tarixi: 20 İyul, 2017

Trapesiya

dördbucaqlı trapesiya

 

Yalnız iki qarşı tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflərə isə yan tərəfləri deyilir. Trapesiyanın qarşı təpələrini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir. Trapesiyanın iki diaqonalı var. Trapesiyanın bir oturacağınin istənilən nöqtəsindən digər oturacağına endirilmiş perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Əgər trapesiyanın bir düz bucağı olarsa ona düzbucaqlı trapesiya deyilir.

Teorem 1: Trapesiyanın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi, yan tərəflərinin uzantılarının kəsişmə nöqtəsi, və oturacaqlarının orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

İsbatı: Əvvəlcə isbat edək ki, oturacaqların ortasından keçən düz xətt yan tərəflərin uzantılarınin kəsişmə nöqtəsindən keçir.

Şəkildəki $ABCD$ trapesiyasına baxaq. Tutaq ki, yan tərəflərin uzantıları hər hansı $S$ nöqtəsində kəsişir. Həmin nöqtədən $BC$ oturacağının orta nöqtəsi olan $M$ nöqtəsinə düz xətt çəkək. Həmin düz xətin digər oturacağı kəsdiyi nöqtəni $N$ ilə işarə edək. İsbat etməliyik ki, $N$ nöqtəsi $AD$ tərəfinin orta nöqtəsidir. $\triangle BSM$ və $\triangle ASN$-də Fales teoreminə görə iki yan tərəf mütənasibdir. Təpə bucaqları da eyni olduğu üçün II əlamətə görə bu üçbucaqlar oxşardır. Onda,

$\dfrac{BM}{AN} = \dfrac{SM}{SN}$

Eynilə, $\triangle CSM \sim \triangle DSN$. Bu oxşarlıqdan alırıq ki,

$\dfrac{CM}{DN} = \dfrac{SM}{SN}$

Bu iki münasibətdən aşağıdakı alınır.

$\dfrac{BM}{AN} =\dfrac{CM}{DN}$

$BM=CM$ olduğunu nəzərə alsaq $AN=DN$ alarıq. Yəni $N$ nöqtəsi $AD$ oturacağının orta nöqtəsidir.

İndi isə $MN$ xəttinin trapesiyanın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçdiyini isbat edək. Bu nöqtəni $O$ ilə işarə edək. $\triangle BOC \sim \triangle DOA$, çünki $\angle CBO=\angle ADO$, $\angle BCO = \angle DAO$. Bu bucaqlar çarpaz olduğu üçün bərabərdir. Ona görə oxşarlığın I əlamətinə görə bu üçbucaqlar oxşardır. Oxşarlıqdan alırıq ki,

$\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{2AN}{2MC} =\dfrac{AN}{MC}$

Onda $\triangle MOC$ və $\triangle NOA$-da iki tərəf mütənasib, aralarındakı bucaqlar isə qarşılıqlı olduğu üçün bərabərdir. Deməli, $\triangle MOC \sim \triangle NOA$. Yəni, $\angle MOC = \angle NOA$. Bucaqların bərabərliyi onların qarşılıqlı olmasını göstərir, yəni $O$ nöqtəsi $MN$ xətti üzərindədir.

Teorem 2: Trapesiyanın yan tərəflərinə bitişik bucaqların tənbölənləri perpendikulyardır.

İsbatı: Trapesiyanın yan tərəflərinə bitişik bucaqlar daxili birtərəfli bucaqlar olduğu üçün onların cəmi $180°$-yə bərabərdir. Onda bu bucaqların yarısının cəmi $90°$ olacaq.

$\angle A +\angle B = 180° \Rightarrow \dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2} = 90°$

$\triangle AOB$-də $\angle BAO$ və $\angle ABO$-nun cəmi $90°$ olduğu üçün $\angle BOA=90°$ olmalıdır.

Trapesiyanın iki yan tərəfinin ortasını birləşdirən düz xətt parçasına onun orta xətti deyilir.

Teorem 3: Trapesiyanın orta xətti oturacaqlara paralel olub onların uzunluqları cəminin yarısına bərabərdir. Başqa cür desək, oturacaqların uzunluğunun ədədi ortasına bərabərdir.

İsbatı: $ABCD$ trapesiyasının $KL$ orta xəttini çəkək. $B$ və $L$ nöqtələrindən düz xətt çəkib $AD$ oturacağının davamı ilə kəsişmə nöqtəsini $G$ ilə işarə edək. Alinmiş $\triangle LBC$ və $\triangle LGD$-yə baxaq. $CL=LD$, $\angle BCL$ və $\angle LDG$ çarpaz bucaqlar, $\angle CLB$ və $\angle DLG$ isə qarşılıqlı bucaqlar olduğu üçün bərabərdirlər. Onda, üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle LBC=\triangle LGD$. Deməli, $BL=LG$, $BC=DG$.

Yəni trapesiyanın orta xətti həm də $\triangle ABG$ üçün orta xətt olacaq. isbat edək ki $KL \parallel AD$. $AD$ isə trapesiyanın oturacağı olduğu üçün $BC$ tərəfinə paraleldir. Deməli həm də $KL \parallel BC$.

Üçbucağın orta xəttinin xassəsinə görə

$KL=\dfrac{AG}{2}=\dfrac{AD+DG}{2}=\dfrac{AD+BC}{2}$

Teoremin hər iki hökmü isbat olundu.

Teorem 4: Trapesiyanın diaqonalları onu elə 4 üçbucağa bölür ki, bunların ikisi oturacaqlara bitişik olub oxşar, ikisi isə yan tərəflərə bitişik olub eyni böyüklükdədir.

İsbatı: $\triangle BOC \sim \triangle DOA$. Bu oxşarlıq üçbucaqların $O$ təpəsindəki bucaqlarının qarşılıqlı, digər iki bucaqlarının isə daxili çarpaz bucaq olmasından çıxır.

İndi göstərək ki, $\triangle ABO$ və $\triangle DCO$-nun sahələri eynidir. Buna görə əvvəl $\triangle ABD$ və $\triangle ACD$-nin sahələrinə baxaq. Bu üçbucaqların hər ikisinin hündürlüyü və oturacaqları eyni olduğundan sahələri də bərabərdir.

$S_{ABD}=S_{ACD}$

Hər iki üçbucağın daxilində eyni $\triangle AOD$ yerləşir. Onda,

$S_{ABO} = S_{ABD}-S_{AOD} \\
S_{CDO} = S_{ACD}-S_{AOD}$

Bu bərabərliklərin sağ tərəfləri eyni olduğundan sol tərəfləri də eynidir. Teorem isbat olundu.

Teorem 5: Trapesiyanın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçib oturacaqlara paralel xəttin yan tərəflərlə məhdudlaşmış parçası bu nöqtədə yarı bölünür və onun uzunluğu trapesiyanın oturacaqlarının harmonik ortasına bərabərdir.

$a$ və $b$ oturacaqlardırsa, onların harmonik ortası aşağıdakı kimi hesablanır:

$\bar{h} = \dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \dfrac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \dfrac{2ab}{a+b}$

İsbatı: Artıq isbat etmişik ki, $\triangle BOC = \triangle DOA$. Deməli,

$\dfrac{OC}{AO}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{a}{b}$

$PK \parallel BC$ olduğu üçün $\triangle APO \sim \triangle ABC$. Ona görə

$\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{PO}{BC} \Rightarrow PO = \dfrac{AO}{AC} \cdot BC = \\[15pt]
= \dfrac{AO}{AO+OC} \cdot BC = \dfrac{BC}{1+\dfrac{OC}{AO}}=\\[25pt]
=\dfrac{a}{1+\dfrac{a}{b}} = \dfrac{ab}{a+b}$

Eynilə, $\triangle DOK \sim \triangle DBC$ olduğu üçün

$OK=\dfrac{ab}{a+b}$

Deməli, $PO=OK$ və $PK=\dfrac{2ab}{a+b}$

Teorem 6: Trapesiyanın diaqonallarının orta nöqtələrini birləşdirən parçanın uzunluğu onun oturacaqları fərqinin yarısına bərabərdir.

İsbatı: Artıq isbat etmişik ki, trapesiyanın orta xətti oturacaqlara paraleldir. Deməli Fales teoreminə görə bu xətt diaqonalların da ortasından keçir. Yəni bizim axtardığımız parça orta xətin üzərindədir. Onda $MQ$ parçası $\triangle ABD$-nin, $MO$ parçası isə $\triangle ABC$-nin orta xətti olacaq. Üçbucağın orta xəttinin xassəsinə görə,

$MQ=\dfrac{AD}{2}, \ MO =\dfrac{BC}{2}\\[15pt]
OQ = MQ-MO=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{b-a}{2}$

Teorem 7: Trapesiyanı iki eyni böyüklükdə trapesiyaya ayıran oturacağa paralel düz xətt parçasının uzunluğu oturacaqların kvadratik ortasına bərabərdir.

İsbatı: Trapesiyanı oturacağa paralel xətlə elə bölmək olar ki, iki eyni böyüklükdə trapesiya alınsın. Bu xəttin uzunluğunu tapaq. Tutaq ki, $h_1$ və $h_2$ alınan trapesiyaların hündürlükləridir. Axtardığımız parçanın uzunluğu $x$ olsun.

$\dfrac{S}{2}=\dfrac{a+x}{2} h_1 = \dfrac{b+x}{2}h_2 \\[15pt]
S= (a+x)h_1 = (b+x)h_2\\[15pt]
\dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{a+x}{b+x}$

Digər tərəfdən

$S=\dfrac{a+b}{2}(h_1+h_2)$

Onda,

$(a+x)h_1 = \dfrac{a+b}{2}(h_1+h_2)\\[15pt]
a+x = \dfrac{a+b}{2}\left(1+\dfrac{h_2}{h_1}\right)$

$\dfrac{h_2}{h_1}$ əvəzinə $\dfrac{a+x}{b+x}$ yazsaq

$a+x = \dfrac{a+b}{2} \left( 1+\dfrac{a+x}{b+x} \right)\\[15pt]
a+x = \dfrac{(a+b)(b+a+2x)}{2(b+x)} \\[15pt]
2ab+2ax+2bx+2x^2 = a^2+b^2+2ab+2ax+2bx\\[15pt]
2x^2=a^2+b^2 \Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

Teorem isbat olundu.

Oxşar trapesiyalar

Oxşar fiqurların xüsusi halı kimi oxşar trapesiyalara baxaq. Trapesiyanı oturacağa paralel xətt ilə elə bölmək olar ki, ondan iki bir-birinə oxşar trapesiya alınar. Şəkildəki oxşar trapesiyalar bunlardır.

$ALFD \sim LBCF$

Onda, oxşarlığın xassəsinə görə,

$\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{b} \Rightarrow x =\sqrt{ab}$

Bu o deməkdir ki, trapesiyanı iki oxşar trapesiyaya bölən düz xətt parçasının uzunluğu oturacaqların həndəsi ortasına bərabərdir.

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr