Yaranma tarixi: 17 Mart, 2018

Bərabəryanlı trapesiya

trapesiya xassə əlamətlər

 

Əgər trapesiyanın yan tərəfləri bərabərdirsə ona bərabəryanlı trapesiya deyilir.

Bərabəryanlı trapesiyanın xassələri

Xassə 1: Əgər trapesiyanın bir oturacağındakı bucaqlar bərabərdirsə, onun o biri oturacağındakı bucaqlar da bərabərdir.

İsbatı: Bunun isbatı çox trivialdır. Çünki trapesiyanın oturacaqları paralel olduğundan onun yan tərəfə bitişik bucaqlarının cəmi birtərəfli bucaqlar kimi $180°$ olacaq. Ona görə

$\angle A = \angle D \Rightarrow 180°-\angle B = 180°-\angle C \Rightarrow \angle B=\angle C$

Xassə 2: Bərabəryanlı trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir.

Şəkil 1

İsbatı: Trapesiyanın $B$ və $C$ təpələrindən hündürlüklərini çəksək iki bərabər düzbucaqlı üçbucaq alarıq. Bu üçbucaqlarda hipotenuz və bir katet bərabərdir. Ona görə $\angle A=\angle D$. Onda, əvvəlki xassəyə görə həm də $\angle B=\angle C$.

Xassə 3: Trapesiya bərabəryanlıdırsa onun diaqonalları da bərabərdir.

Şəkil 2

İsbatı: $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-da $AB=DC$, $AD$ tərəfi ortaq, $\angle A =\angle D$ olduğu üçün bu üçbucaqlar I əlamətə görə bərabərdir. Bərabərlikdən isə alınır ki.

$AC=BD$

Xassə 4: Bərabəryanlı trapesiyada diaqonallar oturacaqlar ilə eyni bucaq əmələ gətirir.

Şəkil 3

İsbatı: $\angle CAD=\angle ACB$ və $\angle ADB = \angle DBC$, çünki bunlar çarpaz bucaqlardır. $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$ isə üç tərəfinə görə bərabərdir. Onda $\angle CAD = \angle ADB$. Bununla da bütün bucaqların bərabərliyi alındı.

$\angle CAD = \angle ADB = \angle DBC = \angle ACB$

Xassə 5: Bərabəryanlı trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olar.

İsbatı: Bilirik ki, dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi $180°$ olarsa onun xaricinə çevrə çəkmək olar. Bərabəryanlı trapesiyada isə isbat etdiyimizə görə oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir.

$\angle BAD + \angle CBA = \angle BAD + \angle DCB = 180°$

Bərabəryanlı trapesiyanın əlamətləri

Əlamət 1: Əgər trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı:  Şəkil 1-də $ABM$ və $DCN$ düzbucaqlı üçbucaqları katet və bitişik bucağa görə bərabərdir. Bərabərlikdən alırıq ki, $AB=CD$.

Əlamət 2: Əgər trapesiyanın diaqonalları bərabərdirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Şəkil 2-yə baxsaq $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-nın sahələri eynidir. Bu sahələrin sinuslar vasitəsilə ifadəsini yazaq.

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle DCA} \Rightarrow \dfrac{1}{2} AC \cdot AD \cdot sin \angle CAD = \dfrac{1}{2} DB \cdot AD \cdot sin \angle BDA \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow sin \angle CAD = sin \angle BDA \Rightarrow \angle CAD = \angle BDA $

Onda $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$ iki tərəfi və aralarındakı bucağa görə bərabərdir. Bu bərabərlikdən yan tərəflərin bərabərliyi alınır.

Əlamət 3: Əgər trapesiyanın diaqonalları oturacaqlar ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirirsə bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Şəkil 3-də $\triangle ABD$ və $\triangle DCA$-nın sahələri eynidir. Bu sahələrin sinuslar vasitəsilə ifadəsini yazaq.

$\dfrac{1}{2} AC \cdot AD \cdot sin \angle CAD = \dfrac{1}{2} DB \cdot AD \cdot sin \angle BDA \Rightarrow AC = DB$

Onda ikinci əlamətə görə trapesiya bərabəryanlıdır.

Əlamət 4: Əgər trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olarsa bu trapesiya bərabəryanlıdır.

İsbatı: Əgər dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkilibsə onun qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Yəni,

$\angle BCD + \angle BAD = 180°$

Həm də bilirik ki,

$\angle ABC + \angle BAD = 180°$

Deməli,

$\angle ABC = \angle BCD$

Eynilə alırıq ki,

$\angle BAD = \angle CDA$

Bu isə birinci əlamətə görə yan tərəflərin bərabərliyi deməkdir.

Məsələlər

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr