Sehrli kvadrat

sehrli kvadrat

 

Məqaləyə başlamazdan əvvəl Professor Əskər Əli Abiyevə bu mövzu ilə məni tanış etdiyi üçün öz dərin təşəkkürümü bildirirəm. Həmin alim istənilən n-ci tərtib sehrli kvadratın qurulması alqoritmini verməklə kifayətlənməmiş, hətta n-ci tərtib sehrli kubların da qurulması üçün  real işləyən alqoritmlər vermişdir. Hər iki alqoritmin mövcudluğuna əmin olmanız üçün, həmçinin istənilən tərtib Sehrli kvadrat və Sehrli kubların qurulması alqoritmini yoxlamaq üçün həmin professorun saytına buradan keçid edə bilərsiniz (www.askeraliabiyev.com).

Əvvəlcə Sehrli kvadratın (Magic square) nə olması və tarixi barədə qısa məlumat verim. $n\times n$ ölçülü sehrli kvadratda $1$-dən $n^2$-na qədər ədədlər elə düzülür ki, bütün sətirlərdəki, sütunlardakı və hər iki diaqonaldakı ədədlərin cəmi eyni olsun. Sehrli kvadratın tarixi bizi eramızdan əvvələ aparır. $3\times 3$ ölçüdə (və ya $3$-cü tərtib) sirli kvadrat bizim eradan əvvəl 190-cı ildə Çin riyaziyyatçılarına məlum idi. $4$-tərtibli sirli kvadratın şəkli 12-ci əsrdə Hindistanda, Xajurahoda tikilmiş Parşvanatha məbədində divarda aşkar edilmişdir. Sonralar isə dünyanın müxtəlif yerlərində daha iri tərtibli ($5-8$ tərtibləri) sehrli kvadratlar haqda məlumatlar aşkarlanıb. Tarixi faktlar bu qədər yetər. Daha çox tarix ilə maraqlananlara Vikipediya yardımçı ola bilər. Bircə onu deyim ki, ədədlərin cəminin eyni olmasından başqa Sehrli kvadratın digər xüsusiyyətləri də var.

Sehrli ədəd

Sehrli kvadrat üçün istənilən sətir elementləri, istənilən sütun elementləri və ya hər iki diaqonal elementlərinin ayrılıqda cəmi ki, eyni ədədi verir, həmin ədədə Sehrli ədəd deyəcəyəm. $3$-cü tərtibli kvadrat üçün bu ədəd $15$, $4$-cü tərtib kvadrat üçün isə bu ədəd $34$-dür.

$n$-ci tərtib kvadrat üçün kvadratı qurmadan həmin ədədi tapmaq mümkündür. Həmi sehrli ədəd aşağıdakı düsturla hesablanır:

$M=\dfrac{(n^2+1)\cdot n}{2}$

Bu düsturun haradan alındığını yəqin ki, riyazıyyatçılar artıq başa düşdü. Digərləri üçün izah edirəm. Bizim $n$-ci tərtibli kvadratda yerləşdirə biləcəyimiz müxtəlif ədədlər $1$-dən $n^2$-na qədər olduğu üçün onlara ədədi silsilə kimi baxsaq, $1$-ci həddi $1$, sonuncusu $n^2$, elementlərinin sayı da $n^2$ qədərdir. Deməli Seherli kvadtarımızdaki bütün xanaların cəmi bu ədədi silsilənin elementləri cəminə bərabərdir. Onda ədədi silsilənin elementləri cəmi düsturuna görə:

$S=\dfrac{(n^2+1)\cdot n^2}{2}$

Onda $n$ sayda sətir və ya sütun olduğu üçün hər bir sətir və ya sütundakı elementlərin cəmi $M=S/ n$ olacaq. Buradan da $n^2$-nın biri ilə bu $n$ ixtisar olur və surətdə bir $n$ qalır.

Sehrli kvadratda olan digər sabitlər

$4\times 4$ ölçüdə olan sehrli kvadratın misalında bəzi qanunauyğunluqları araşdırmaq istəyirəm. Aşağıdakı kvadratın sətir, sütun və diaqonal elementləri başqa-başqa rənglənib ki, ayırmaq asan olsun.

1-ci şəkildə 4 sətrin hər birinin cəmi sehrli ədəd olan $34$ edir.

2-ci şəkildə 4 sütunun hər birinin cəmi $34$ edir.

Aşağıdakı şəkildə isə hər iki diaqonalın elementləri cəmi $34$ edir.

Bu 12 dənə şərt vacib şərtlərdir ki, kvadrat “sehrli” olsun. İndi isə keçək ilk məqamda görünməyən xassələrə. Aşağıda eyni rənglə rənglənmiş kvadratların da elementləri cəmi $34$ edir.

Üfüqi və şaquli qeyd edilmiş iki-iki eyni rəngli düzbucaqlıların da elementləri cəmi $34$ edir. Yəni $1+12+5+16=34$, $15+6+11+2=34$, $1+15+2+16=34$, və s.

Növbəti şəkildə iki yuxarıdakı qırmızı ilə iki aşağıdakı qırmızı xanaların da elementləri cəmi $15+14+3+2=34$ edir.

Həmçinin sol və sağ yaşıl xanaların da elementləri cəmi $12+8+9+5=34$ edir.

İndi isə daha maraqlı iki fakti qeyd edim. Aşağıdakı kvadratın eyni rəngli xanalarına baxın. Küncdəki iki elementlə ($1$ və $16$), onlara tərs diaqonal elementləri ($10$ və $7$) cəmi də $34$ edir. Eynilə $4+13+6+11=34$. Bundan başqa mərkəzdən eyni məsafədə yerləşən yaşıl elementlərin cəmi $12+15+2+5=34$ və narıncı elementlərin cəmi də $14+9+8+3=34$ edir.

İkinci fakt isə odur ki, istənilən xananı götürüb $90$ dərəcə döndərməklə düşdüyü xananı qeyd etsək, 3 dəfə belə dönüşdə alınan xanalarla ilk seçdiyimiz xananın da elementləri cəmi $34$ edəcək. Aşağıdakı şəklə baxın. Burada $1$ yerləşən xana $90°$ dönərkən $4$ yerləşən xanaya, bir də $90°$ dönərkən $16$ yerləşən xanaya və 3-cü dönmədə $13$ yerləşən xanaya düşür. 4-cü dəfə döndərsək tam $360°$ olur ki, gəlib elə $1$ xanasına çatırıq. Bu xananın “gəzdiyi” bütün xanalardakı ədədlərin cəmi $1+4+16+13=34$. Eynilə $15$ ədədinin yerləşdiyi xananı 3 dəfə döndərsək $15+9+2+18=34$ alarıq. Və ya $14$ xanasını döndərməklə $14+5+3+12=34$ alarıq. Sonda mərkəzə yaxın istənilən xananı götürüb 3 dəfə döndərməklə kiçik kvadrat alırıq ki, burada da cəm yenə $6+7+11+10=34$ verir.

Bütün bu xassələri müşahidə edərkən başqa bir qanunauyğunluğu da gördüm. Ola bilər ki, siz də bu qədər cəmin eyni sehrli ədədi ($34$) verdiyini müşahidə etdikdə daha kiçik cəmlərin də sabit olacağını düşündünüz. Yenə sonuncu şəkildəki sehrli kvadrata baxın. Mərkəzə nəzərən simmetrik istənilən 2 xananın cəmi də eyni ədədi verir ki, bu da Sehrli ədədin yarısına bərabərdir. $34/2=17$. Bəli, şəkildən görünür ki, $15+2=17$, $10+7=17$, $13+4=17$. Bu da bizim ikinci sehrli ədədimizdir ki, onu da $L$ ilə işarə edirəm. $n$-ci tərtib sehrli kvadrat üçün bu ədəd aşağıdakı kimi hesablanacaq:

$L=n^2+1$

Qeyd edim ki, sonuncu şərti baxdığım müxtəlif ölçülü sehrli kvadratlar üçün yoxlayanda gördüm ki, cüt tərtibli kvadratların hamısı üçün bu keçərli deyil. Ola bilər ki, kvadratın qurulması üçün digər alqoritm olsa bu şərti tamamilə ödəyən cüt tərtibli kvadrat da qurmaq olar.