Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.

Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Решение

а) В этом случае условие означает, что для последовательности $\{ x_n\}$, $\lim \limits_{n \to \infty} x_n \neq 0$. Это вовсе не означает, что эта последовательность неограничена. Возможно, есть такое число $M>0$, что $\forall n \ \ |x_n| \leq M$. В условии пункта а об этом нет информации. Поэтому об ограниченности этой последовательности ничего сказать невозможно. Только можно сказать, что эта последовательность не является бесконечно малой. Также нельзя сказать, что эта последовательность является бесконечно большой, так как ничего не известно о сходимости этой последовательности.

Для примера рассмотрим несколько членов последовательности $x_n=1-0,9^n$.

$x_1=0,1\\
x_2=0,19\\
x_3=0,271\\
x_4=0,3439$

Видно, что в $0,3$ окрестности нуля находятся лишь первые 3 члена последовательности. А все члены последовательности не больше единицы. Эта последовательность ограничена и для этой последовательности $M=1$. Более того, единица является пределом этой последовательности $\lim \limits_{n \to \infty} (1-0,9^n) =1$. Значит эта последовательность не является бесконечно малой, и не является бесконечно большой.

Теперь рассмотрим последовательность $x_n=2^n$. В любой окрестности нуля будет лишь конечное числе элементов этой последовательности. Эта последовательность не ограничена, у неё нет предела, и она является бесконечно большой.

б) Это означает, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = 0$, что значит повледовательность $\{ x_n\}$ сходится. Следовательно эта последовательность является ограниченной. Так как она сходится на ноль, значит является бесконечно малой. Значит не является бесконечно большой.

Читайте также

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$