Yaranma tarixi: 13 İyul, 2017

Oxşar üçbucaqlar

oxşar üçbucaq oxşarlıq əlamətlər

 

$\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$ o vaxt oxşar adlanır ki, $\angle A=\angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C=\angle C_1$ və $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$.

Oxşar üçbucaqlar belə işarə olunur: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Lemma 1 Üçbucağın hər hansı tərəfinə paralel olub digər tərəfləri kəsən xətt, ondan oxşar üçbucaq ayırır.

İsbatı: Şəklə diqqət yetirsək görərik ki, $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-də $\angle B$ ortaqdır. $\angle BAC=\angle BMN$ və $\angle BCA = \angle BNM$, çünki bunlar uyğun bucaqlardır. Deməli hər üç bucaq bərabərdir.

İndi tərəflərin mütənasibliyinə baxaq. Ümumiləşmiş Fales teoreminə görə $\dfrac {AB}{BM} = \dfrac {BC}{BN}$.

İndi $\triangle BMN$-i sürüşdürüb $M$ təpəsiini $A$ təpəsi üzərinə elə salaq ki, $MN$ tərəfi $AC$ tərəfi, $BM$ tərəfini isə $AB$ tərəfini özündə saxlayan xətt üzərində olsun. $\triangle BMN$-in $B$ təpəsini $AB$ xətti üzərində $B_1$ ilə işarə edək. Artıq bilirik ki, $\angle B_1NM = \angle BCA$. Xətlərin paralelliyinin ikinci əlamətinə görə $B_1N \parallel BC$. Onda yenə Fales teoreminə görə $\dfrac{AC}{MN}=\dfrac{AB}{B_1M}$. Bu şəkildəki $B_1M$ parçası isə yuxarıdakı şəkildəki $BM$ parçasıdır. Onda

$$\dfrac{AC}{MN} = \dfrac  {AB}{BM} =\dfrac{BC}{BN}$$

Lemma 2: Əgər bir üçbucağın bucağı digər üçbucağın bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqların sahələrinin nisbəti həmin bucağı əmələ gətirən tərəflərin hasilləri nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-də $\angle A=\angle A_1$. İsbat etməliyik ki,
$$\dfrac {S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AB\cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$$

$A_1B_1C_1$ üçbucağını $ABC$ üçbucağı üzərinə elə yerləşdirək ki, $A_1$ təpəsi $A$ üzərinə düşsün, $A_1B_1$ və $A_1C_1$ tərəfləri isə uyğun olaraq $AB$ və $AC$ şüaları üzərində olsun. $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C$ eyni $CH$ hündürlüyünə malikdir. Ona görə

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C}} = \dfrac{\dfrac{AB\cdot CH}{2}} {\dfrac{A_1B_1\cdot CH}{2}} = \dfrac{AB}{A_1B_1}$

$\triangle A_1B_1C$ və $\triangle A_1B_1C_1$ həmçinin eyni $B_1H_1$ hündürlüyünə malikdir.

$\dfrac{S_{A_1B_1C}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{\dfrac{AC\cdot B_1H_1}{2}} {\dfrac{A_1C_1\cdot B_1H_1}{2}} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$

Bu iki nisbəti bir-birinə vursaq

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C}} \cdot \dfrac{S_{A_1B_1C}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AB\cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} \Rightarrow \dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AB\cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

Teorem (Üçbucaqların oxşarlığının birinci əlaməti): Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır.

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-də $\angle A =\angle A_1$, $\angle B=\angle B_1$. Onda üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi $180°$ olduğu üçün

$\angle C=180°-\angle A -\angle B = 180° - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1$

Deməli bu üçbucaqların bütün bucaqları bərabərdir. İsbat etməliyik ki, bu üçbucaqların tərəfləri də mütənasibdir. Lemma 2-yə görə $\angle A=\angle A_1$ olduğu üçün
$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AB \cdot AC} {A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

$\angle B=\angle B_1$ olduğu üçün

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AB \cdot BC} {A_1B_1 \cdot B_1C_1}$

$\angle C=\angle C_1$ olduğu üçün

$\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac {AC \cdot BC} {A_1C_1 \cdot B_1C_1}$

Bu bərabərliklərin hamısında sol tərəf eyni olduğu üçün sağ tərəflər də eynidir.

$\dfrac {AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1} = \dfrac {AB\cdot BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1} \Rightarrow \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac {BC}{B_1C_1}$

$\dfrac {AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1} = \dfrac {AC\cdot BC}{A_1C_1\cdot B_1C_1} \Rightarrow \dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac {BC}{B_1C_1}$

Deməli,

$\dfrac {AC}{A_1C_1} = \dfrac {BC}{B_1C_1} = \dfrac {AB}{A_1B_1}$

Teorem isbat olundu.

Teorem (Üçbucaqların oxşarlığının ikinci əlaməti): Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır.

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-də $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$ və $\angle A=\angle A_1$.

$ABC$ üçbucağına $AB$ tərəfi ortaq olan $ABC_2$ üçbucağını şəkildəki kimi əlavə edək. Yəni $C_2$ təpəsi $AB$ xəttinə nəzərən $C$ ilə müxtəlif yarımmüstəvilərdə yerləşsin, və $\angle C_2AB=\angle C_1A_1B_1$, $\angle C_2BA=\angle C_1B_1A_1 $. Üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $\triangle ABC_2 \sim \triangle A_1B_1C_1$. Ona görə $\dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {AC_2}{A_1C_1}$. Şərtə görə isə $\dfrac {AB}{A_1B_1}=\dfrac {AC}{A_1C_1}$. Bu iki bərabərlikdən alırıq ki, $AC_2 = AC$. Onda üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə $\triangle ABC_2=\triangle ABC$.

$\triangle ABC_2$ isə $\triangle A_1B_1C_1$ ilə oxşar idi. Deməli, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Teorem isbat olundu.

Teorem (Üçbucaqların oxşarlığının üçüncü əlaməti): Əgər bir üçbucağın üç tərəfi digər üçbucağın üç tərəfi ilə mütənasibdirsə, bu üçbucaqlar oxşardir.
İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-də

$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$

Yenə də $\triangle ABC$-yə $AB$ tərəfi ortaq olan $\triangle ABC_2$ əlavə edək ki, $\angle C_2AB=\angle C_1A_1B_1$, $\angle C_2BA = \angle C_1B_1A_1$. Üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $\triangle ABC_2 \sim \triangle A_1B_1C_1$. Yəni

$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC_2}{A_1C_1}=\dfrac{BC_2}{B_1C_1}$

Bu bərabərlikləri teoremin şərtindəki bərabərliklərlə müqayisə etsək aşağıdakıları alarıq.

$\dfrac {BC}{B_1C_1}=\dfrac{BC_2}{B_1C_1} \Rightarrow BC = BC_2$

$\dfrac {AC}{A_1C_1}=\dfrac{AC_2}{A_1C_1} \Rightarrow AC=AC_2$

Onda üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü əlamətinə görə $\triangle ABC = \triangle ABC_2$. Yəni $ABC$ üçbucağı $A_1B_1C_1$ ilə oxşar olan $ABC_2$ üçbucağına bərabərdir. Deməli, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Teorem isbat olundu.

 

 

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr