Yaranma tarixi: 01 Fevral, 2019

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları

triqonometriya

 

Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, yəni şərti desək bucaq $\dfrac{\pi}{2}$ şaquli oxuna söykənibsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun “konfunksiyasına” çevirə bilərik. Belə ki, sinus funksiyası kosinusa, tangens kotangensə, sekans isə kosekansa çevriləcək. Əgər $n$ cüt ədəddirsə, onda funksiyanın adı dəyişmir.

Bu cür çevirmə nəticəsində alınan funksiyanın işarəsi isə ilkin funksiyanın işarəsi ilə təyin olunur. Yəni çevirmədən əvvəlki funksiya yerləşdiyi rübdə hansı işarəyə malik idisə, alınan funksiyanın işarəsi elə olacaq. Bunu başa düşmək üçün şəklə diqqət yetirin. Şəkildə vahid çevrə verilib və bu çevrə üzərində sinus və kosinus xətləri göstərilib. Gördüyünüz kimi sinus xətti ordinat oxuna paralel şaquli xətt olduğu üçün onun qiyməti $\mbox{I}$ və $\mbox{II}$ rüblərdə müsbət $\mbox{III}$ və $\mbox{IV}$ rüblərdə isə mənfidir. Kosinus xətti isə absis oxuna paralel üfüqi xətt olduğu üçün $\mbox{I}$ və $\mbox{IV}$ rüblərdə müsbət, $\mbox{II}$ və $\mbox{III}$ rüblərdə isə mənfidir. Tangens və kotangens funksiyaları sinus və kosinusun nisbəti olduğu üçün bu funksiyaların hər ikisi $\mbox{I}$ və $\mbox{III}$ rüblərdə müsbət, $\mbox{II}$ və $\mbox{IV}$ rüblərdə mənfidir.

Deyilənləri hər bir funksiya üçün izah edək. Əvvəlcə onu deyək ki, $n \dfrac{\pi}{2}$ işarələməsində bizi yalnız $n=1,2,3,4$ qiymətləri maraqlandırır. Funksiyalar dövri olduğu üçün arqumentin bütün digər qiymətlərində funksiyanın qiyməti təkrarlanır.

Sinus funksiyasının çevrilməsi

Əvvəlcə $n=1$ və $n=3$ hallarına baxaq. Cəmin və fərqin sinusu düstrundan bilirik ki,

$\sin \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha \right) = \sin \dfrac {\pi}{2} \cos \alpha \pm \cos \dfrac{\pi}{2} \sin \alpha = \cos \alpha$

Burada $\cos \dfrac {\pi}{2}=0$ olduğu üçün ikinci hədd düşür. Birinci hədd isə $\sin \dfrac {\pi}{2}=1$ olduğundan $\cos \alpha$ şəklini alır.

$\sin \left( \dfrac{3 \pi}{2} \pm \alpha \right) = \sin \dfrac {3 \pi}{2} \cos \alpha \pm \cos \dfrac{3 \pi}{2} \sin \alpha = - \cos \alpha$

Burada da yenə $\cos \dfrac{3 \pi}{2}=0$ və $\sin \dfrac {3 \pi}{2} = -1$ olduğundan nəticədə $ - \cos \alpha$ qalır.

İndi isə $n=2$ və $n=4$ hallarına baxaq.

$\sin \left(\dfrac{2 \pi}{2} \pm \alpha \right) = \sin (\pi \pm \alpha) =\\[15pt]
= \sin \pi \cos \alpha \pm \cos \pi \sin \alpha = \mp \sin \alpha$

Doğrudan da $\sin \pi =0$ və $\cos \pi =-1$ olduğu üçün birinci hədd düşür, ikinci hədd isə işarəsini tərsinə dəyişir.

$\sin \left(\dfrac{4 \pi}{2} \pm \alpha \right) = \sin (2\pi \pm \alpha) =\\[15pt]
= \sin 2\pi \cos \alpha \pm \cos 2\pi \sin \alpha = \pm \sin \alpha$

Çünki $\sin 2 \pi=0$ və $\cos 2\pi=1$.

Deməli, bucaq şaquli qövsə söykənibsə funksiya özünün konfunksiyasına çevrildi. Bucaq $\dfrac {\pi}{2}$-yə söykənərkən $\mbox{I}$ və ya $\mbox{II}$ rübə düşməsindən asılı olmayaraq sinus funksiyası həmişə müsbətdir (şəklə baxın). Ona görə

$\sin \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha \right)= \cos \alpha$

Bucaq $\dfrac {3 \pi}{2}$-yə söykənərsə $\mbox{III}$ və ya $\mbox{IV}$ rübə düşməsindən asılı olmayaraq sinus funksiyasının nəticəsi mənfi olacaq.

$\sin \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha \right)= - \cos \alpha$

Bucaq üfüqi qövsə söykənərkən $\pi$ və $2 \pi$ halının heç birində, gördüyünüz kimi, funksiya dəyişmədi. İşarə isə $\sin (\pi + \alpha)$ halında $\mbox{III}$ rübə düşdüyü üçün mənfi, $\sin (\pi - \alpha)$ halında isə $\mbox{II}$ rübə düşdüyü üçün müsbət oldu. Eynilə $\sin (2\pi + \alpha)$ halında $\mbox{I}$ rübə düşdüyü üçün müsbət, $\sin (2\pi - \alpha)$ halında $\mbox{IV}$ rübə düşdüyü üçün mənfi oldu.

Deməli, əvvəldə qeyd etdiyimiz qayda sinus üçün doğrudur.

Kosinus funksiyasının çevrilməsi

Yenə $n=1$ və $n=3$ halına baxaq. Cəmin və fərqin kosinusu düstrundan bilirik ki,

$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)=\cos \dfrac{\pi}{2} \cos \alpha \mp \sin \dfrac {\pi}{2} \sin \alpha = \mp \sin \alpha\\[15pt]
\cos \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)=\cos \dfrac{3\pi}{2} \cos \alpha \mp \sin \dfrac {3\pi}{2} \sin \alpha = \pm \sin \alpha$

Birinci halda $\cos \left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)$ olarsa bucaq $\mbox{II}$ rübə düşdüyündən və kosinus funksiyası bu rübdə mənfi olduğundan alınan funksiyanın işarəsi mənfi oldu. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)$ olduqda isə bucaq $\mbox{I}$ rübə düşdüyündən və kosinus funksiyası bu rübdə müsbət olduğundan alınan funksiyanın işarəsi müsbət oldu.

İkinci halda $\cos \left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)$ olarsa bucaq $\mbox{IV}$ rübə düşdüyündən və kosinus funksiyası bu rübdə müsbət olduğundan alınan funksiyanın işarəsi müsbət oldu. $\cos \left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)$ olduqda isə bucaq $\mbox{III}$ rübə düşdüyündən və kosinus funksiyası bu rübdə mənfi olduğundan alınan funksiyanın işarəsi mənfi oldu.

Hər iki halda bucaq şaquli qövsə söykəndiyindən kosinus funksiyası özünün konfunksiyasına, yəni sinusa çevrildi.

İndi $n=2$ və $n=4$ halına baxaq.

$\cos \left(\dfrac{2\pi}{2} \pm \alpha\right) =\cos (\pi \pm \alpha) =\\[15pt]
= \cos \pi \cos \alpha \mp \sin \pi \sin \alpha = - \cos \alpha\\[15pt]
\cos \left(\dfrac{4\pi}{2} \pm \alpha\right) = \cos (2 \pi \pm \alpha) =\\[15pt]
= \cos 2\pi \cos \alpha \mp \sin 2\pi \sin \alpha =  \cos \alpha$

$cos(\pi + \alpha)$ və $\cos (\pi - \alpha)$ hallarında funksiya uyğun olaraq $\mbox{III}$ və $\mbox{II}$ rüblərə düşür. Hər iki rübdə kosinus mənfidir. $cos(2\pi + \alpha)$ və $\cos (2\pi - \alpha)$ hallarında isə funksiya uyğun olaraq $\mbox{I}$ və $\mbox{IV}$ rüblərə düşür. Hər iki rübdə kosinus müsbətdir. Bütün göstərilən hallarda funksiya üfüqi qövsə söykəndiyindən olduğu kimi qaldı.

Deməli, əvvəldə qeyd etdiyimiz qayda kosinus üçün də öz qüvvəsində qalır.

Tangens funksiyasının çevrilməsi

Yenə $n=1$ və $n=3$ halına baxaq.

$\mbox{tg} \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right) = \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)}{ \cos \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)} = \\[15pt]
= \dfrac{\cos \alpha}{\mp sin \alpha} = \mp \mbox{ctg} \alpha \\[20pt]
\mbox{tg} \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right) = \dfrac{\sin \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)}{ \cos \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)} = \\[15pt]
= \dfrac{-\cos \alpha}{\pm \sin \alpha} = \mp \mbox{ctg} \alpha$

Hər iki halda tangens funksiyası kotangens funksiyasına keçdi. Arqument $\mbox{II}$ və $\mbox{IV}$ rübə düşdüyü halda nəticə mənfi, $\mbox{I}$ və $\mbox{III}$ rübə düşdüyü halda nəticə müsbət oldu.

İndi $n=2$ və $n=4$ hallarına baxaq.

$\mbox{tg} \left(\dfrac{2\pi}{2} \pm \alpha\right) = \mbox{tg} (\pi \pm \alpha) = \\[15pt]
=\dfrac{\sin (\pi \pm \alpha)}{ \cos (\pi \pm \alpha)} = \dfrac{\mp \sin \alpha}{- \cos \alpha} = \pm \mbox{tg} \alpha \\[20pt]
\mbox{tg} \left(\dfrac{4\pi}{2} \pm \alpha\right) = \mbox{tg} (2\pi \pm \alpha) = \\[15pt]
= \dfrac{\sin (2\pi \pm \alpha)}{ \cos (2\pi \pm \alpha)} = \dfrac{\pm \sin \alpha}{\cos \alpha} = \pm \mbox{tg} \alpha$

Bu hallarda isə tangens funksiyası dəyişmədi. İşarə isə arqument $\mbox{II}$, $\mbox{IV}$ rübə düşərkən mənfi, $\mbox{I}$, $\mbox{III}$ rüblərə düşərkən müsbət oldu.

Əvvəldə qeyd etdiyimiz qayda tangens üçün də doğrudur.

Kotangens funksiyasının çevrilməsi

Yada salaq ki, $\mbox{ctg} \alpha = \dfrac {1}{\mbox{tg} \alpha}$, deməli tangens funksiyası işarəsini dəyişdiyi halda kotangens funksiyası da işarəsini eyni cür dəyişəcək. Arqument şaquli xəttə söykənərkən tangens kotangensə keçdiyi üçün, kotangens də $\dfrac{1}{\mbox{tg} \alpha}$ olduğu üçün tangensə keçəcək. Arqument üfüqi xəttə söykənərkən tangens dəyişmədiyi kimi kotangens də dəyişməyəcək.

$\mbox{ctg} \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right) = \mp \mbox{tg} \alpha \\[15pt]
\mbox{ctg} \left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right) = \mp \mbox{tg} \alpha \\[15pt]
\mbox{ctg} (\pi \pm \alpha) = \pm \mbox{tg} \alpha \\[15pt]
\mbox{ctg} (2\pi \pm \alpha) = \pm \mbox{tg} \alpha$

Eyni mülahizələri sekans və kosekans funksiyaları üçün aparsaq görərik ki, bu halda da göstərdiyimiz qayda doğrudur.

Digər məqalələr