Yaranma tarixi: 07 İyul, 2017

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları

İki bucağın cəminin triqonometrik funksiyalarını ($sin(\alpha+\beta)$, $cos(\alpha+\beta)$, $tg(\alpha+\beta)$, $ctg(\alpha+\beta)$) biliriksə, buradan sadə şəkilsə ikiqat bucaq üçün triqonometrik bərabərlikləri ala bilərik.

$sin 2x= sin(x+x) = sinx \ cosx + sinx \ cosx =2 \ sinx \ cosx \\[15pt] cos 2x = cos(x+x) = cosx \ cosx - sinx \ sinx = cos^2x \ sin^2x \\[15pt] tg2x = tg(x+x) = \dfrac{tgx+tgx}{1-tgx \ tgx} = \dfrac{2 \ tgx}{1-tg^2x} \\[15pt] ctg2x = ctg(x+x) = \dfrac{ctgx \ ctgx -1}{ctgx+ctgx} = \dfrac{ctg^2x-1}{2 \ ctgx}$

İndi keçək üçqat bucaqlara.

$sin3x = sin(2x+x) = sin2x \ cosx + cos2x \ sinx =\\[15pt] = 2 \ sinx \ cosx \cdot cosx + (cos^2x-sin^2x) sinx = \\[15pt] = 2 \ sinx \ cos^2x + sinx \ cos^2x - sin^3x = 3 \ sinx \ cos^2x - sin ^3x $

Əsas triqonometrik bərabərliklərdən bilirik ki, $sin^2x+cos^2x=1$. Ona görə

$3 \ sinx \ cos^2x - sin ^3x = 3 \ sinx(1-sin^2x)-sin^3x =\\[15pt] = 3sinx - 3sin^3x - sin^3x = 3sinx - 4sin^3x$

$cos3x$ üçün də düstur eynilə alınır.

$cos3x = cos(2x+x) = cos2x \ cosx - sin2x \ sinx =\\[15pt] = (cos^2x-sin^2x)cosx - 2 \ sinx \ cosx \cdot sinx =\\[15pt] = cos^3x - sin^2 \ cosx - 2 \sin ^2x \ cosx = \\[15pt] = cos^3x - 3 \ sin^2x \ cosx = cos^3x -3(1-cos^2x)cosx =\\[15pt] = cox^3x - 3cosx + 3cos^3x = 4cos^3x -3cosx $

$tg3x$-a baxaq.

$tg3x = tg(2x+x) = \dfrac{tg2x+tgx}{1-tg2x \ tgx} =\\[15pt] = \dfrac{\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}+tgx}{1-\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}\cdot tgx}= \dfrac{\dfrac{2tgx+tgx-tg^3x}{1-tg^2x}}{\dfrac{1-tg^2x-2tg^2x}{1-tg^2x}}=\\[30pt] =\dfrac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$

$ctg3x$ üçün də düstur eynilə alınır.

$ctg3x = ctg(2x+x) = \dfrac{ctg2x \ ctgx -1}{ctg2x + ctgx} =\\[15pt] = \dfrac{\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}\cdot ctgx-1}{\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}+ctgx}= \dfrac{\dfrac{(ctg^2x-1)ctgx-2ctgx}{2ctgx}}{\dfrac{ctg^2x-1+2ctg^2x}{2ctgx}}=\\[30pt] =\dfrac{ctg^3x-ctgx-2ctgx}{ctg^2x-1+2ctg^2x}=\dfrac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}=\dfrac{3ctgx-ctg^3x}{1-3ctg^2x}$

Digər məqalələr

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları

Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.

Əsas triqonometrik bərabərliklər

Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)

$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)

$\sin(\alpha+\beta)$, $\sin(\alpha-\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ və $\cos(\alpha-\beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları

Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır.

Tangenslərin cəmi və hasili

Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)

$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)

$\sin \alpha + \sin \beta$, $\sin \alpha-\sin \beta$, $\cos \alpha+\cos \beta$, $\cos \alpha-cos \beta$ cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün $\alpha$ və $\beta$-ya belə bir əvəzləmə aparaq.

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi

Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Bucaqlar

Müstəvidə bir nöqtədən çıxan iki şüanın əmələ gətirdiyi fiqura bucaq deyilir. Həmin nöqtəyə bucağın təpəsi, şüalara isə tərəfləri deyilir. Bucaqları dərəcə və ya radianla ölçürlər.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar

Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.