Yaranma tarixi:
Əsas triqonometrik bərabərliklər
triqonometriya
Burada $sin$, $cos$, $tg$, $ctg$, $sec$ və $cosec$ ilə bağlı əsas triqonometrik bərabərliklər verilib. Bunların əksəriyyəti trivial olsa da, hamısı tam izah edilib.
$sin^2 x+ cos^2 x =1$
Bunu isbat etmək üçün şəkildəki düzbucaqlı üçbucağa nəzər salaq. Bu üçbucağın katetlərini $a$ və $b$, hipotenuzunu isə $c$ ilə işarə etsək $x$ bucağının sinuz və kosinusu uyğun olaraq aşağıdakı kimi olacaq:
$sin x = \dfrac{b}{c}$; $cos x = \dfrac{a}{c}$
İndi bunların kvadratları cəminə baxaq
$sin^2 x + cos^2 x = \Big( \dfrac{b}{c}\Big)^2 + \Big(\dfrac{a}{c}\Big)^2 =$
$=\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{a^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$
Pifaqor teoreminə görə $a^2 + b^2 = c^2$. Onda
$$ \frac{a^2 +b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$$
Beləliklə $sin^2 x+ cos^2 x =1$ olduğu isbat edildi.
$tg x = \frac{sin x }{cos x}$
Bunu isbat edək.Əvvəlcə qeyd edək ki, $x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, kosinus sıfır olmasın.Yenə yuxarıdakı üçbucağa baxaq. Tangens, sinus və kosinusun tərifinə görə
$tgx = \dfrac{b}{a};$ $sin x = \dfrac{b}{c}$; $cos x = \dfrac{a}{c}$
onda
$\dfrac{sinx}{cosx} = \dfrac{\dfrac{b}{c}}{\dfrac{a}{c}} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a} = tgx$
$ctg x = \frac{cos x }{sin x}$
Bu da analoji isabat olunur. Burada da $x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, sinus sıfır olmasın.
$$\dfrac{cosx}{sinx} = \dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{b} = ctgx$$
$tgx \cdot ctg x = 1$
Bunun isbatı avtomatik olaraq yuxarıdakı iki bənddən alınır.
$$tgx \cdot ctgx = \dfrac{sinx}{cosx} \cdot \dfrac{cosx}{sinx} = 1$$
$secx = \frac{1}{cosx}$
Bu sekansın tərifidir. Qeyd edək ki, $x \ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, kosinus sıfır olmasın. Əgər yuxarıdakı üçbucağın tərəfləri ilə ifadə etsək:
$secx = \dfrac{1}{cosx} = \dfrac {1}{\dfrac{a}{c}} = \dfrac{c}{a}$
$cosecx = \frac{1}{sinx}$
Bu kosekansın tərifidir. $x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, sinus sıfır olmasın. Əgər yuxarıdakı üçbucağın tərəfləri ilə ifadə etsək:
$$secx = \dfrac{1}{sinx} = \dfrac {1}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{c}{b}$$
$\frac {1}{cos^2x} = tg^2 x + 1 $
Bunun da isbatı yuxarıda isbat olunmuş birinci iki bənddən alınır.
$\dfrac {1}{cos^2x} = \dfrac {sin^2 x+ cos^2 x}{cos^2x} = \dfrac {sin^2 x}{cos^2x} + \dfrac {cos^2 x}{cos^2x}=tg^2 x+ 1$
$\frac {1}{sin^2x} = ctg^2 x + 1 $
Analoji olaraq
$$\dfrac {1}{sin^2x} = \dfrac {sin^2 x+ cos^2 x}{sin^2x} = \dfrac {sin^2 x}{sin^2x} + \dfrac {cos^2 x}{sin^2x}=ctg^2 x+ 1$$
Gördünüz ki, əsas triqonometrik bərabərliklər son dərəcədə trivial olaraq bir-birindən alınır.
Digər məqalələr
İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları
$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.
Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları
Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.
tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.
sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)
$\sin(\alpha+\beta)$, $\sin(\alpha-\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ və $\cos(\alpha-\beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.
Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları
Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır.
Tangenslərin cəmi və hasili
Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$
tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)
$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.
sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)
$\sin \alpha + \sin \beta$, $\sin \alpha-\sin \beta$, $\cos \alpha+\cos \beta$, $\cos \alpha-cos \beta$ cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün $\alpha$ və $\beta$-ya belə bir əvəzləmə aparaq.
© Müəllif hüquqları qorunur
Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.