Yaranma tarixi: 06 İyul, 2017

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)

Bu cəmi və fərqi hasilə çevirmək üçün əvvəlcə $sin(\alpha \pm \beta)$ və $cos(\alpha \pm \beta)$ çıxarılışını bilməliyik. O mövzunu bilirsinizsə keçək bu düsturların çıxarılışına. Əvvəl $sin \alpha + sin \beta$ düsturuna baxaq.

$sin \alpha + sin \beta$ yazılışında belə bir əvəzləmə aparaq.

$\alpha = \dfrac {2\alpha}{2} = \dfrac {\alpha + \alpha}{2} = \dfrac {\alpha + \beta + \alpha - \beta}{2}= \dfrac {(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\\[15pt] \beta = \dfrac {2\beta}{2} = \dfrac {\beta + \beta}{2}= \dfrac {\alpha + \beta - \alpha + \beta}{2} = \dfrac {(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}$

Onda

$sin \alpha + sin \beta = sin \dfrac {(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} + sin \dfrac {(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) + sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) $

 Düstura yuxarıda adı çəkilən $sin\alpha \pm sin \beta$ çıxarılışını tətbiq etsək

$sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} \\[15pt] sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2}$

Bu düsturları yuxarıdakı ilkin ifadədə yerinə yazaq

$sin \alpha + sin \beta = sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) + sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)= \\[15pt] = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} + sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} = \\[15pt] = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} = 2 sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} $

Beləliklə $sin \alpha + sin \beta$ cəmini hasil ilə ifadə etdik.

Eynilə sinusun tək funksiya olması faktını nəzərə alsaq

$sin \alpha – sin \beta = sin \alpha + sin(- \beta) = 2 sin \dfrac {\alpha +(- \beta)}{2} cos \dfrac {\alpha – (-\beta)}{2} = 2 sin \dfrac {\alpha - \beta}{2} cos \dfrac {\alpha + \beta}{2}\\[15pt] \mathbf{ sin \alpha \pm sin \beta = 2 sin \dfrac {\alpha \pm \beta}{2} cos \dfrac {\alpha \mp \beta}{2}}$

Əgər $\alpha$ əvəzinə $2 \alpha$, $\beta$ əvəzinə $2 \beta$ yazsaq, eyni düstur aşağıdakı şəklə düşər.

$ sin 2\alpha \pm sin 2\beta = 2 sin \dfrac {2\alpha \pm 2\beta}{2} cos \dfrac {2\alpha \mp 2\beta}{2} = 2 sin (\alpha \pm \beta) cos(\alpha \mp \beta)$.

İndi $cos \alpha \pm cos \beta$ -nı hasil ilə ifadə edək. Yenə əvəzləmə aparsaq

$ cos \alpha + cos \beta = cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) + cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \\[15pt] = cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} – sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} + sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} = \\[15pt] = 2cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Eynilə

$ cos \alpha - cos \beta = cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) - cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \\[15pt]
= cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} – sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} - sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} = \\[15pt]
= -2sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Deməl kosinusların cəmi və fərqini üçün aşağıdakı düsturları aldıq

$\mathbf{cos \alpha + cos \beta = 2cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}; \ \ cos \alpha - cos \beta = -2sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

Yenə $\alpha$ əvəzinə $2 \alpha$, $\beta$ əvəzinə $2 \beta$ yazsaq, bu düsturlar aşağıdakı şəklə düşər.

$cos 2\alpha + cos 2\beta = 2 cos (\alpha+\beta) cos(\alpha-\beta)\\[15pt] cos 2\alpha - cos 2\beta = -2 sin (\alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)$

Digər məqalələr

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları

$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları

Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.

Əsas triqonometrik bərabərliklər

Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)

$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)

$\sin(\alpha+\beta)$, $\sin(\alpha-\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ və $\cos(\alpha-\beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları

Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır.

Tangenslərin cəmi və hasili

Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)

$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.