Yaranma tarixi: 15 Mart, 2018

Üçbucağın sahəsi

üçbucaq sahə

 

Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq.

İxtiyarı üçbucaq üçün sahə düsturları

I düstur

Bu düstur üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün ən çox istifadə olunan düsturdur.

$S=\dfrac{1}{2} ah$

Burada $a$ – oturacaq, $h$ – həmin oturacaqdan qaldırılmış hündürlükdür. Bu düsturun çıxarılışına burada baxa bilərsiniz.

II düstur

$S=\dfrac{1}{2}ab \ sin \gamma$

Burada $a$ və $b$ üçbucağın istənilən tərəfləri, $\gamma$ isə bu tərəflər arasındakı bucaqdır. Bu düsturun çıxarışını Sinuslar teoremi barədə məqalədə vermişik.

III düstur

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p= \dfrac{a+b+c}{2}$

Bu Heron düsturudur. $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri , $p$ – yarımperimetrdir. Bu düsturun çıxarılışına ayrıca məqalə həsr olunub.

IV düstur

$S=\dfrac{a^2}{2(ctg \beta + ctg \gamma)}$

Burada $a$ üçbucağın tərəfi, $\beta$ və $\gamma$ isə bu tərəfə bitişik bucaqlardır.

Bu düsturun çıxarılışına üç halda baxacağıq. Əvvəlcə təsəvvür edək ki, baxdığımız üçbucaq itibucaqlıdır. Üçbucağı şəkildəki kimi hündürlük ilə iki düzbucaqlı üçbucağa bölək.

$ctg \beta = \dfrac{x}{h} \Rightarrow x=h \ ctg \beta\\[15pt]
ctg \gamma = \dfrac{y}{h} \Rightarrow y = h \ ctg \gamma$

Onda,

$a=x+y=h \ ctg \beta + h \ ctg \gamma = h(ctg \beta + ctg \gamma) \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow h = \dfrac{a}{ctg \beta + ctg \gamma}$

Bunu I düsturda yerinə yazsaq

$S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{a^2}{2(ctg \beta + ctg \gamma)}$

İndi korbucaqlı üçbucaq halına baxaq. Tutaq ki, $\beta$ bucağı kor bucaqdır. Onda $A$ təpəsindən endirilən hündürlük üçbucağın xaricinə düşəcək. $ \triangle ABD$-də $BD=x$ işarə etsək, $B$ təpəsindəki bucaq $\pi-\beta$ olduğu üçün

$x=h \ ctg (\pi-\beta) = -h \ ctg \beta$

$\triangle ACD$-də $CD=y$ işarə etsək

$y = h \ ctg \gamma$

Onda $BC=a$ tərəfini $CD-BD$ kimi ifadə etsək aşağıdakı bərabərliyi alarıq.

$a=y-x=h \ ctg \gamma - (- h \ ctg \beta) = h(ctg \beta + ctg \gamma) \Rightarrow \\[15pt] \Rightarrow h=\dfrac{a}{ctg\beta+ctg\gamma}$

$h$ üçün yenə eyni düsturu aldıq.

Üçbucaq düzbucaqlı olan hala baxaq. Bu halda $A$ təpəsindən endirilən perpendikulyar $AB$ kateti ilə eyni olacaq. Onda

$ctg\gamma=\dfrac{a}{h} \Rightarrow h=\dfrac{a}{ctg \gamma}\\[15pt]
S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{a^2}{2 ctg \gamma}$

Doğrudan da $\beta = \dfrac{\pi}{2}$ olarsa $ctg \beta = 0$. Yəni məxrəcdəki birinci toplanan sıfıra bərabər olur və düstur yuxarıda göstərilən şəkli alır.

V düstur

$S=pr, \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Burada $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri, $p$ – yarımperimetr, $r$ isə üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düsturun çıxarılışını artıq vermişik.

VI düstur

$S=\dfrac{abc}{4R}$

Burada $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri, $R$ – üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düsturun da çıxarılışını artıq vermişik.

VII düstur

$S=2R^2 \cdot sin\alpha \cdot sin\beta \cdot sin \gamma$

Burada $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – bucaqlar, R – xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

Sinuslar teoremindən bilirik ki,

$\dfrac{a}{sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{sin \gamma}=2R$

Deməli,

$a=2R \ sin \alpha, \ b= 2R \ sin \beta, c= 2R \ sin \gamma$

VI düsturda bunu yerinə yazsaq

$S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{2R\sin \alpha \cdot 2R \ sin \beta \cdot 2R \ sin \gamma}{4R}=\\[15pt]
=2R^2 \cdot sin \alpha \cdot sin \beta \cdot sin \gamma $

Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucağın sahəsi

VIII düstur

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Bilirik ki, bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları $\dfrac{\pi}{3}$-ə bərabərdir. Bərabərtərəfli üçbuaq həm də bərabəryanlı olduğu üçün onun hündürlüyü həm də median olacaq. Onda, $a$ düzgün üçbucağın tərəfidirsə onun hündürlüyü oturacağı hər biri $\dfrac{a}{2}$-yə bərabər olan iki hissəyə bölür. Onda I düstura görə sahə

$S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{1}{2}  a \cdot a \ sin  \dfrac{\pi}{3} =\\[15pt]
= \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

IX düstur

$S=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}}$

Burada $h$ – bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyüdür.

$S=\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{h}{sin \dfrac{\pi}{3}} \cdot h=\\[20pt]
=\dfrac{h^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}}$

X düstur

$S=3 \sqrt{3} r^2$

$r$ – daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

V düstura görə

$S=pr = \dfrac{3a}{2} r$

Şəkildən görünür ki,

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{r}{tg \dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{r}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}r$

Bunu yerinə yazaq.

$S=3\sqrt{3} r^2$

XI düstur

$S=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

$R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

VI düstura görə $S=\dfrac{a^3}{4R}$

$a$-nı $R$ vasitəsilə tapsaq

$\dfrac{a}{2} = R \ cos \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow a=2R \dfrac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt {3}$

$S=\dfrac{R^3 3 \sqrt{3}}{4R}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Digər məqalələr