Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq
Yaranma tarixi:
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
üçbucaq sahə
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi üçün olan düsturlara baxaq. Əvvəlcə onu deyək ki, ixtiyari üçbucaq üçün olan sahə düsturları hamısı bərabəryanlı üçbucaq üçün də doğrudur. Ona görə burada həmin düsturlara baxmayacağıq. Yalnız xüsusi hal kimi bərabəryanlı üçbucaq üçün yararlı olan düsturları nəzərdən keçirəcəyik.
Bütün aşağıdakı düsturlarda üçbucağın yan tərəfləri $a$, oturacağı $b$, yan tərəflərin oturacaqla əmələ gətirdikləri bucağı $\alpha$, yan tərəflər arasındakı bucağı isə $\beta$ ilə işarə edəcəyik. Hündürlüyü isə ənənəvi olaraq $h$ ilə işarə edəcəyik. Bərabəryanlı üçbucağın xassəsinə görə bu hündürlük həm $b$ oturacağına çəkilmiş median, həm də $\beta$ bucağı üçün tənbölən olacaq.
I düstur
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir.
$S = \dfrac{b^2}{4 \ tg \dfrac{\beta}{2}}$
Bu düstur $S=\dfrac{1}{2} bh$ düsturundan alınır. Əvvəlcə bərabəryanlı üçbucağın $h$ hündürlüyünü tapaq.
$tg \dfrac{\beta}{2} = \dfrac{\dfrac{b}{2}}{h} = \dfrac{b}{2h} \Rightarrow h=\dfrac{b}{2 \ tg \dfrac{\beta}{2}}$
Bu ifadəni düsturda yerinə yazaq.
$S=\dfrac{1}{2} b \cdot \dfrac{b}{2 \ tg \dfrac{\beta}{2}} = \dfrac{b^2}{4 \ tg \dfrac{\beta}{2}}$
II düstur
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.
$S=\dfrac{b^2}{4} tg \alpha$
$h$ hündürlüyünü oturacaq və yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın köməyi ilə tapaq və $S=\dfrac{1}{2} bh$ düsturunda yerinə yazaq.
$tg \alpha = \dfrac{h}{\dfrac{b}{2}} \Rightarrow h = \dfrac{b}{2} tg \alpha\\[15pt]
S=\dfrac{1}{2}b \cdot \dfrac{b}{2} tg \alpha = \dfrac{b^2}{4} tg \alpha$
III düstur
$S=\dfrac{1}{2}b \sqrt{\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)}$
Bərabəryanlı üçbucağın hündürlüyünü $a$ və $b$ vasitəsilə Pifaqor teoremi ilə tapmağa çalışaq.
$h=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}{4}} = \sqrt{\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)}$
Bu ifadəni $S=\dfrac{1}{2} bh$ düsturunda hündürlüyün yerinə yazıb klassik sahə düsturundan bizə lazım olan düsturu alırıq.
IV düstur
$S=\dfrac{b}{4} \sqrt {4a^2-b^2}$
Bu düstur III düsturdan alınır.
$S=\dfrac{b}{2}\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}{4}}=\\[15pt]
=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{4a^2-b^2}{4}}=\\[15pt]
=\dfrac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$
Məsələ
Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın
Məsələ 1: Bərabərtərəfli üçbucağın hər üç tərəfinin orta nöqtələri şəkildəki kimi $A_1$, $B_1$, $C_1$ ilə qeyd edilib. $CA_1$ parçası üzərində və $AC_1$ parçası üzərində istənilən $G$ və $H$ nöqtələri götürülüb. Sonra $A_1H$, $HB_1$, $B_1G$, və $GC_1$ parçaları çəkilib. Nəticədə alınan iki dördbucaqlının sahələri $G$ və $H$ nöqtələrinin uyğun olaraq $CA_1$ və $AC_1$ parçaları üzərindəki yerindən asılı olmayaraq həmişə bərabərdir. Bunu isbat edin.
Digər məqalələr
Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat
Əgər kvadratın tərəfi üçbucağın bir tərəfində yerləşib digər iki təpəsi üçbucağın digər tərəfləri üzərindədirsə bu kvadrat üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat adlanır. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın tərəfi bu üçbucağın oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin, həmin oturacaq ilə həmin hündürlük cəminə nisbətinə bərabərdir.
Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.
Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.
Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.
Üçbucağın sahəsi
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.
Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.
Viviani teoremi
Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucağın daxilində götürülmüş istənilən nöqtədən tərəflərə qədər məsafələrin cəmi sabit olub bu üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir. Buna Viviani teoremi deyilir.
Bərabərtərəfli üçbucaq
Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.
Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.
© Müəllif hüquqları qorunur
Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.