Yaranma tarixi: 18 Aprel, 2019

Məsələ

Bərabərtərəfli üçbucağın hər üç tərəfinin orta nöqtələri şəkildəki kimi $A_1$, $B_1$, $C_1$ ilə qeyd edilib. $CA_1$ parçası üzərində və $AC_1$ parçası üzərində istənilən $G$ və $H$ nöqtələri götürülüb. Sonra $A_1H$, $HB_1$, $B_1G$, və $GC_1$ parçaları çəkilib. Nəticədə alınan iki dördbucaqlının sahələri $G$ və $H$ nöqtələrinin uyğun olaraq $CA_1$ və $AC_1$ parçaları üzərindəki yerindən asılı olmayaraq həmişə bərabərdir. Bunu isbat edin.

Həlli

Bərabərtərəfli üçbucağın tərəflərinin yarısını $a$ işarə edək. $G$ nöqtəsinin $CA_1$ parçasından ayırdığı hissələri $m$ və $n$, $H$ nöqtəsinin $AC_1$ parçasından ayırdığı hissələri isə $p$ və $q$ ilə işarə edək.

$m+n=a, \ p+q=a$

Əsas üçbucağın sahəsini $S$, iki dördbucaqlının sahələrini $S_A$ və $S_B$, qalan kiçik üçbucaqların sahələrini $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$ ilə işarə edək. Bütün üçbucaqların sahələrini $60°$-li bucaqların sinusu vasitəsilə ifadə edək.

$S= \dfrac{1}{2} (2a)^2 \sin 60° \\[10pt]
S_A+S_1= \dfrac{1}{2} a(a+n) \sin 60° \\[10pt]
S_A+S_4=\dfrac{1}{2} a(a+q) \sin 60° \Rightarrow S_4= \dfrac{1}{2} a(a+q) \sin 60° -S_A\\[10pt]
S_2= \dfrac{1}{2} am \sin 60° \\[10pt]
S_3= \dfrac{1}{2} ap \sin 60° $

Böyük üçbucağın sahəsini onu təşkil edən kiçik üçbucaqlar və iki dördbucaqlının sahələri cəmi şəklində göstərək.

$S_A+S_1+S_B+S_2+S_3+S_4 = S$

Bu bərabərlikdə yuxarıdakı düsturları yerinə yazaq.

$\dfrac{1}{2} a(a+n) \sin 60°+S_B+\dfrac{1}{2} am \sin 60° + \dfrac{1}{2} ap \sin 60° + \\[10pt]
+ \dfrac{1}{2} a(a+q) \sin 60° -S_A = \dfrac{1}{2} (2a)^2 \sin 60°$

Mötərizələri aşıb $\dfrac{1}{2} \sin 60°$ -yə görə qruplaşdıraq.

$\dfrac{1}{2} (a^2+an+am) \sin 60° +S_B+\dfrac{1}{2} (ap+a^2+aq) \sin 60° -S_A = \dfrac{1}{2} 4a^2 \sin 60°$

Burada $an+am=a(n+m)=a^2$ və $ap+aq=a(p+q)=a^2$ olduğunu nəzərə alsaq bərabərliyimiz aşağıdakı şəklə düşər.

$a^2 \sin 60° +S_B+ a^2 \sin 60° -S_A = 2 a^2 \sin 60° \Rightarrow S_B-S_A=0 \Rightarrow S_B=S_A$

İsbat etdi: Eynullayev Mahir

Qeyd: Məsələ Kvant (2019 N2, fevral) jurnalından götürülüb.

Digər məqalələr

Viviani teoremi

Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucağın daxilində götürülmüş istənilən nöqtədən tərəflərə qədər məsafələrin cəmi sabit olub bu üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir. Buna Viviani teoremi deyilir.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Napoleon teoremi

Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.