Yaranma tarixi: 06 Fevral, 2018

Brahmaqupta teoremi

Teorem: Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının sahəsi üçün aşağıdakı düstur doğrudur.

$S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Burada $a$, $b$, $c$ və $d$ dördbucaqlının tərəfləri,  $p$ isə yarımperimetrdir.

İsbatı: Şəkildəki dördbucaqlıya baxaq. Bu dördbucaqlı çevrə daxilinə çəkildiyi üçün qarşı bucaqlarının cəmi $180°$-dir. Onda, $ABCD$ dördbucaqlısının sahəsini iki üçbucağın sahəsi ilə ifadə edək. Bu üçbucaqların sahələrini isə iki tərəf və aralarındaki bucaq vasitəsilə tapaq.

$S_{ABCD} = S_{ABD} +S_{BCD} =\\[15pt]= \dfrac{1}{2} ad \ sin \alpha + \dfrac{1}{2}bc \ sin (180°-\alpha)=\\[15pt]
=\dfrac{1}{2} sin \alpha \cdot (ad+bc)$

Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldək

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{2} sin^2 \alpha (ad+bc)^2=\dfrac{1}{4} (1-cos^2\alpha)(ad+bc)^2$

$\triangle ABD$ və $\triangle BCD$-də $BD$ tərəfi üçün kosinuslar teoremini tətbiq etsək

$BD^2 = a^2+d^2-2ad\ cos\alpha\\[15pt]
BD^2 = b^2+c^2-2bc \ cos(180°-\alpha)=\\[15pt]
=b^2+c^2+2bc \ cos\alpha$

Bu bərabərliklərin sol tərəfləri bərabər olduğu üçün sağ tərəflərini də bərabərləşdirsək

$a^2+d^2-2ad \ cos \alpha = b^2+c^2+2bc \ cos\alpha \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow (2ad+2bc) cos \alpha = a^2+d^2-b^2-c^2 \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  cos \alpha = \dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$

Bunu $(*)$-da yerinə yazsaq

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{4}(1-cos^2\alpha)(ad+bc) =\\[15pt]= \dfrac{1}{4} \Big(1-\Big(\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)} \Big)^2 \Big)(ad+bc)^2$

İndi uzun-uzadı bir hesablama başlayacaq.

$S_{ABCD}^2  = \dfrac{1}{4}\Big(1-\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\Big)\Big(1+\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\Big)(ad+bc)^2= \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(2(ad+bc)-a^2-d^2+b^2+c^2)(2(ad+bc)+a^2+d^2-b^2-c^2) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(b^2+2bc+c^2-a^2+2ad-d^2) (a^2+2ad+d^2-b^2+2bc-c^2) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}\big((b+c)^2-(a-d)^2\big)\big((a+d)^2-(b-c)^2\big) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}\big((b+c)-(a-d)\big) \big((b+c)+(a-d)\big) \big((a+d) -(b-c)\big) \big((a+d) +(b-c)\big) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(-a+b+c+d) (a+b+c-d) (a-b+c+d) (a+b-c+d)$

Mötərizələrin içinə bizə lazım olan ədədləri əlavə edib çıxacağıq.

$S_{ABCD}^2  =\dfrac{1}{16}(a+b+c+d-2a) (a+b+c+d-2d) (a+b+c+d-2b) (a+b+c+d-2c)$

Yada salaq ki, teoremin şərtində $p$ yarımperimetr idi.

$a+b+c+d = 2p$

Bunu yuxarıdakı düsturda yerinə yazsaq, nəhayət ki, çevir-tata, vur tata əməliyyatının sonuna çatarıq

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{16}(2p-2a)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2c)=\\[15pt]=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow S_{ABCD} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Bu düstur quruluşuna görə Heron düsturunu xatırladır. Ona görə bəzən Brahmaqupta düsturuna səhvən dördbucaqlı üçün Heron düsturu da deyirlər.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi

Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.