Yaranma tarixi: 31 Yanvar, 2018

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

çevrə dördbucaqlı

 

Dördbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə

Əgər dördbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə dördbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə, dördbucaqlıya isə çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlı deyilir.

Üçbucaqdan fərqli olaraq istənilən dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək olmaz. Misal üçün şəkildəki dördbucaqlıya baxın.

Teorem: Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi $180°$-yə bərabərdir.

İsbatı: Şəkildəki $ABCD$ dördbucaqlısına baxaq. Daxilə çəkilmiş bucaq haqqında teoremə görə

$\angle A = \dfrac{1}{2} \smile BCD$, $\angle C = \dfrac{1}{2} \smile BAD$

$\smile BCD$ və $\smile BAD$ isə birlikdə tam çevrə əmələ gətirir. Deməli, onların cəmi $360°$-dir. Yuxarıdakı bərabərlikləri toplasaq

$\angle A + \angle C = \dfrac{1}{2} (\smile BCD + \smile BAD) = \dfrac{360°}{2} = 180°$

Teorem: Əgər dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi $180°$-yə bərabərdirsə, bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək olar.

İsbatı: Tutaq ki, $ABCD$ dördbucaqlısında (aşağıdakı şəklə baxın) $\angle A+\angle C=180°$.  $A$, $B$ və $D$ təpələrindən çevrə çəkib həmin çevrənin $C$ təpəsindən də keçdiyini isbat edək. Əgər bu belə olmasa $C$ təpəsi ya çevrənin daxilində, ya da xaricində yerləşəcək. $C$ təpəsi çevrə daxilində yerləşərsə $\angle C$-nin ölçüsü daha böyük olacaq. $\angle A$-nın isə ölçüsü dəyişmədiyi üçün $\angle A +\angle C > 180°$ olacaq. Bu isə şərtə ziddir. $C$ təpəsi çevrə xaricində olsa $\angle C$-nin ölçüsü daha kiçik olacaq və $\angle A +\angle C <180°$ olacaq. Bu da şərtə ziddir. Deməli, dördbucaqlının $C$ təpəsi də çevrə üzərindədir.

Dördbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə

Əgər dördbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə dördbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə, dördbucaqlıya isə çevrə xaricinə çəkilmiş dördbucaqlı deyilir.

Üçbucaqdan fərqli olaraq istənilən dördbucaqlının daxilinə çevrə çəkmək olmaz. Bunun üçün şəkildəki dördbucaqlıya baxmaq kifayətdir.

Teorem: Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

İsbatı: $\triangle AEO$ və $\triangle AFO$-ya baxsaq bu iki düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzları eyni, katetləri isə radiusa bərabər olduğunu görərik. Deməli onlar katet və hipotenuza görə bərabərdir. Bərabərlikdən alınır ki, $AE=AF$. Eynilə $BE=BH$ və bütün şəkildəki məsafələrin bərabərliyi alınır. Bu məsafələri şəkildəki kimi işarələsək hər iki qarşı tərəfin cəmi $a+b+c+d$ olacaq. Teorem isbat olundu.

Teorem: Əgər qabarıq dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdirsə bu dördbucaqlı daxilinə çevrə çəkmək olar.

İsbatı: Tutaq ki, $ABCD$ qabarıq dördbucaqlısı üçün teoremin şərti ödənir $AB+CD=BC+AD$. Onda $\angle A$ və $\angle B$ üçün tənbölən çəksək bu tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi həm $AO$, həm də $BO$ üzərində olduğu üçün $AD$, $AB$ və $BC$ tərəflərindən eyni məsafədə olacaq.

Onda mərkəzi $O$ nöqtəsində olan çevrə bu üç tərəfə toxunacaq. Göstərək ki, həmin çevrə $CD$ tərəfinə də toxunur. Əksini fərz edək. Tutaq ki, həmin çevrə $CD$ tərəfinə toxunmur. Onda $CD$ tərəfi ilə çevrənin ya heç bir ümumi nöqtəsi yoxdur, yada bu tərəf çevrəni kəsir.

Birinci hala baxaq. Onda $CD$ düz xəttinə paralel olub çevrəyə toxunan $C’D’$ xəttini çəkək. $ABC’D’$ xaricə çəkilmiş dördbucaqlısını alarıq. Bu dördbucaqlı üçün

$AB+C’D’=BC’+AD’$

Şəkildən görünür ki,

$BC’=BC-C’C, \ AD’=AD-D’D$

Ona görə yuxarıdakı bərabərliyi belə yaza bilərik.

$AB+C’D’ = BC-C’C+AD-D’D \Rightarrow C’D’+C’C+D’D = BC+AD-AB$

Teoremdəki bərabərliyə baxsaq görərik ki, sağ tərəf $CD$-yə bərabərdir.

$C’D’+C’C+D’D = CD$

Yəni $C’CDD’$ dördbucaqlısının 1 tərəfi qalan 3 tərəfinin cəminə bərabərdir. Bu isə ola bilməz. Biz ziddiyyətə gəldik.

İkinci halda $CD$ tərəfi çevrəni kəssə yenə bu tərəfə paralel çevrəyə toxunan $C’D’$ xətini çəkə bilərik. Bu halda eyni mülahizəni yürütsək

$BC’=BC+C’C, \ AD’=AD+D’D$

olacaq. Bərabərlik isə bu şəklə düşəcək.

$AB+C’D’=BC+C’C+AD+D’D \Rightarrow C’D’-C’C-D’D=BC+AD-AB$

Yenə teoremdəki bərabərliyə görə sağ tərəf $CD$-yə bərabərdir.

$C’D’-C’C-D’D=CD \Rightarrow C’D’ = CD+C’C+D’D$

Yenə ziddiyyətə gəldik. Deməli $CD$ tərəfi də çevrəyə toxunur.

 

Digər məqalələr