Yaranma tarixi: 21 Mart, 2018

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

üçbucaq sahə

 

Düzbucaqlı üçbucağın sahə düsturlarından danışmazdan əvvəl onu qeyd edək ki, üçbucağın sahəsi üçün verdiyimiz bütün düsturlar burada da keçərli olduğu üçün onları yenidən sadalamayacağıq. Birbaşa keçəcəyik yalnız düzbucaqlı üçbucağa aid olan düsturlara.

I düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun katetləri hasilinin yarısına bərabərdir.

$S=\dfrac{ab}{2}$

Burada $a$ və $b$ katetlərdir.

Bu ən sadə düsturdur. Düzbucaqlı üçbucağın katetləri perpendikulyar olduğu üçün onların birini hündürlük, digərini oturacaq götürə bilərik. Onda üçbucağın klassik sahə düsturu yuxarıdakı şəklə düşər.

II düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir.

$S=(p-a)(p-b)$

$a$, $b$ katetlər, $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ yarımperimetrdir. Bu düstur üçbucaq üçün Heron düsturundan alınır. Adı çəkilən düsturu yada salaq.

$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$

Bu düsturda $p(p-c)$ vuruğuna baxaq.

$p(p-c)=\dfrac{a+b+c}{2} \cdot \left(\dfrac{a+b+c}{2}-c\right) = \\[15pt]
= \dfrac{a+b+c}{2} \cdot \dfrac{a+b-c}{2} = \\[15pt]
= \dfrac{((a+b)+c)((a+b)-c)}{4}= \\[15pt]
=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{4} = \dfrac{a^2+b^2-c^2+2ab}{4}$

Pifaqor teoreminə görə $c^2=a^2+b^2$ olduğu üçün surətdə yalnız $2ab$ qalacaq.

$\dfrac{a^2+b^2-c^2+2ab}{4} = \dfrac{c^2-c^2+2ab}{4} = \dfrac{ab}{2}$

Bu da I düstura görə $S$ deməkdir. Onda, Heron düsturunda $p(p-c)$ əvəzinə $S$ yazaq.

$S^2=S(p-a)(p-b) \Rightarrow S=(p-a)(p-b)$

Növbəti iki düsturda aşağıdakı şəkildən istifadə edəcəyik. Ona görə əvvəl bu şəkli izah edək. $ABC$ düzbucaqlı üçbucağında $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$. Şəkildə qarışıqlıq düşməsin deyə tərəflər üzərində bu işarələmələri yazmamışıq. Daxilə çəkilən çevrənin radiusunu $r$, həmin çevrənin $c$ tərəfinə toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələri isə $c_1$ və $c_2$ ilə işarə etmişik.

Şəkildə üçbucağın $AO$, $BO$ və $CO$ tənbölənləri çəkilib. Bilirik ki, daxilə çəkilmiş çevrənin $O$ mərkəzi tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsidir. $AOR$ və $AOP$ üçbucaqlarında $AO$ tərəfləri ortaq, $A$ təpəsindəki bucaqları bərabərdir. Onda düzbucaqlı üçbucağın bərabərlik əlamətinə görə $\triangle AOR = \triangle AOP$. Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, $\triangle BOR=\triangle BOQ$ və $\triangle COP=\triangle COQ$. Bu üçbucaqların bərabərliyindən alınır ki,

$AP=AR=c_1$, $BQ=BR=c_2$, $CP=CQ=r$

Yəni,

$a=r+c_2, \\ b=r+c_1, \\ c=c_1+c_2, \\[15pt]
p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{r+c_2+r+c_1+c_1+c_2}{2}=\\[15pt]
=\dfrac{2r+2c_1+2c_2}{2}=r+c_1+c_2$

İndi növbəti düsturlara keçə bilərik.

III düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir.

$S=r\cdot (r+c)$

$r$ daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu, $c$ hipotenuzdur.

Yuxarıdakı şəkildən görürük ki, bizə lazım olan sahə 6 düzbucaqlı üçbucağın sahəsinin cəmidir. Bu üçbucaqlar iki-iki bərabər olduğu üçün onların üçünün sahəsinin iki mislinin cəmi əsas üçbucağın sahəsini verəcək.

$S=2S_{\triangle AOR}+2S_{\triangle BOR}+2S_{\triangle COQ}=\\[15pt]
=c_1r+c_2r+r^2=r^2+(c_1+c_2)r=\\[15pt]
=r^2+cr=r(r+c)$

IV düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasilinə bərabərdir.

$S=c_1 \cdot c_2$

II düsturda $p$-nin qiymətini yerinə yazaq və nəzərə alaq ki, $a=r+c_2$, $b=r+c_1$.

$S=(p-a)(p-b)=(r+c_1+c_2-(r+c_2))(r+c_1+c_2-(r+c_1))=\\
=(r+c_1+c_2-r-c_2)(r+c_1+c_2-r-c_1)=c_1c_2$

V düstur

$S=\dfrac{1}{2}a^2 tg \beta$

$\beta$ bucağı $a$ katetinə bitişik bucaqdır.

$S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $b=a \ tg \beta$ olduğunu nəzərə alsaq bizə lazım olan düsturu alarıq.

VI düstur

$S=\dfrac{1}{2} a^2 ctg \alpha$

$\alpha$ bucağı $a$ katetinin qarşısındakı bucaqdır.

Yenə də $S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $b=a \ ctg \alpha$ olduğunu nəzərə alsaq bizə lazım olan düsturu alarıq.

VII düstur

$S=\dfrac{1}{2}c^2 \ sin \alpha \ cos \alpha$

$c$ – hipotenuz, $\alpha$ və $\beta$ hipotenuza bitişik bucaqlardır.

$S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $a=c \ sin \alpha$, $b=c \ cos \alpha$ yazsaq

$S=\dfrac{1}{2} \cdot c \ sin \alpha \cdot c\ cos \alpha = \dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$

 

Digər məqalələr