Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq

Yaranma tarixi: 10 Dekabr, 2017

Heron düsturu

Üçbucağın sahəsini tapmaq üçün artıq iki yol bilirik. Bunlardan biri oturacaq və hündürlük, digəri isə iki tərəf və arasındakı bucaq vasitəsilə həyata keçirilir.

İndi üçüncü yolu isbat edəcəyik. Buna Heron düsturu deyilir. Bu düsturun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron indi də bəşəriyyət tarixinin dahi mühəndisi sayılır. O, həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Biz isə burada yalnız üçbucağın sahəsi üçün Heronun verdiyi düsturdan danışacağıq.

$Heron düsturu$

Heron düsturu: Əgər $a$, $b$ və $c$ üçbucağın tərəfləridirsə, onda onun sahəsi belə hesablanır:

$(1)$

$S = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}; \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

İsbatı: Üçbucağın sahəsi iki tərəf və arasındakı bucağın sinusu ilə belə tapılır.

$(2)$

$S=\dfrac{ab}{2} sin \gamma$

Burada $\gamma$, $a$ və $b$ tərəfləri arasındakı, yəni $c$ tərəfinin qarşısında olan bucaqdır. Kosinuslar teoreminə görə

$(3)$

$c^2 = a^2+b^2-2ab \ cos \gamma \Rightarrow cos \gamma = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Digər tərəfdən bilirik ki, $sin^2\gamma + cos^2\gamma=1$

Onda $sin ^2\gamma=1-cos^2\gamma = (1-cos\gamma)(1+cos\gamma)$

Yuxarıdakı $(3)$ düsturundan $cos\gamma$ qiymətini yerinə yazsaq

$(4)$

$sin^2\gamma = (1-cos\gamma)(1+cos\gamma) = (1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})(1+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=$
$=\dfrac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab} \cdot \dfrac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab} = \dfrac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \cdot \dfrac{(a+b)^2-c^2}{2ab}=$
$=\dfrac{1}{4a^2b^2} (c-(a-b))(c+(a-b)) ((a+b)-c)((a+b)+c) = $
$=\dfrac{1}{4a^2b^2} (c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$

Heron düsturundakı $(1)$ işarələməsinə görə $a+b+c = 2p$. Ona görə bu düsturu daha sadə şəklə salmaq olar.

$(5)$

$\dfrac{1}{4a^2b^2} (c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c) =$
$= \dfrac{1}{4a^2b^2} (c+b+a-2a)(c+a+b-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c) =$
$=\dfrac{1}{4s^2b^2}(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)2p=\dfrac{4}{a^2b^2}p(p-a)(p-b)(p-c)$

Deməli $sin\gamma$ üçün belə bir düstur aldıq

$(6)$

$sin\gamma = \dfrac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

İndi bu qiyməti $(2)$ sahə düsturunda yerinə yazaq

$(7)$

$S=\dfrac{ab}{2} \ sin \gamma = \dfrac{ab}{2} \cdot \dfrac {2}{ab} \sqrt {p(p-a)(p-)(p-c)}=$
$=\sqrt{ p(p-a)(p-)(p-c)}$

Beləliklə üçbucağın sahəsini üç tərəfi vasitəsilə tapmaq üçün Heron düsturunu aldıq.

Digər məqalələr

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Üçbucaq

Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Kosinuslar teoremi

Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat

Əgər kvadratın tərəfi üçbucağın bir tərəfində yerləşib digər iki təpəsi üçbucağın digər tərəfləri üzərindədirsə bu kvadrat üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat adlanır. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın tərəfi bu üçbucağın oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin, həmin oturacaq ilə həmin hündürlük cəminə nisbətinə bərabərdir.

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi

Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Üçbucağın sahəsi

Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Brahmaqupta teoremi

Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının sahəsi bu dördbucaqlının yarım perimetri ilə tərəfləri fərqinin hasilinin kvadrat kökünə bərabərdir.

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.

Naviqator

Arxiv