Yaranma tarixi: 10 İyul, 2017

Fales teoremi

bucaq Fales

 

Teorem: Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır.

İsbatı: Şəkildə paralel xətlər bucağın bir tərəfindən $A_1A_2$ və $A_2A_3$, digər tərəfindən isə $B_1B_2$ və $B_2B_3$ parçaları ayırır. $A_1A_2=A_2A_3$. İsbat edək ki, $B_1B_2=B_2B_3$.

$B_2$ təpəsindən $A_1A_3$ xəttinə paralel çəkək. Onda iki paraleloqram alınacaq. $A_1A_2B_2D$ və $A_2A_3CB_2$. Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər olduğundan $A_1A_2=B_2D$ və $A_2A_3=CB_2$. Digər tərəfdən isə şərtə görə $A_1A_2=A_2A_3$. Aldıq ki, $DB_2=B_2C$.

Digər tərəfdən $B_1$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı bucaqlar olduğundan $\angle CB_2B_3=\angle DB_2B_1$. $\angle B_3CB_2$ və $\angle B_1DB_2$ isə çarpaz bucaqlardır. Ona görə də bərabərdirlər. Üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle CB_2B_3=\triangle DB_2B_1$. Buradan da alınır ki, $B_1B_2=B_2B_3$.

Ümumiləşmiş Fales teoremi

Teorem: Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

İsbatı: Şəkildə bucağın tərəflərini kəsən üç paralel xətt verilib. İsbat etməliyik ki, $\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3} = \dfrac{B_1B_2}{B_1B_3}$.

$\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3}$ nisbətini hər hansı $\dfrac {a}{b}; (a<b)$ kimi ifadə edək. $a$ və $b$ tam ədədlərdir, çünki $\dfrac{a}{b}$ rasional ədəddir. Xətkeş və ya başqa cihaz ilə ölçmə zamanı irrasional ədədlər alınmadığından, bu nisbətin surət və məxrəcində həmişə tam ədədlər duracaq. Bu nisbət onu göstərir ki, $A_1A_2$ parçasında $a$ qədər, $A_1A_3$ parçasında isə $b$ sayda bölgü aparmaq mümkündür. Bu bölgü nöqtələrindən $A_3B_3$ xəttinə paralel xətlər çəksək bucağın digər tərəfində də Fales teoreminə görə bərabər bölgülər alarıq. Yəni $B_1B_2$ parçasında $a$ sayda, $B_1B_3$ parçasinda isə $b$ sayda bərabər hissələr alarıq. Yəni,

$\dfrac {B_1B_2}{B_1B_3}=\dfrac {a}{b}$

Bu nisbətlə isə $\dfrac {A_1A_2}{B_1B_3}$ işarə olunmuşdu. Deməli, $\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3} = \dfrac{a}{b} = \dfrac {B_1B_2}{B_1B_3}$.

Eynilə göstərə bilərik ki,

$\dfrac {A_2A_3}{A_1A_3} = \dfrac{b-a}{b} = \dfrac{B_2B_3}{B_1B_3}$

və yaxud,

$\dfrac{A_1A_2}{A_2A_3} = \dfrac {a}{b-a} = \dfrac {B_1B_2}{B_2B_3}$

Teorem isbat olundu.

Əks Fales teoremi

Teorem: Əgər bucağı kəsən xətlər onun təpə nöqtəsindən başlayaraq hər iki tərəfində mütənasib parçalar ayırırsa, bu xətlər paraleldir.

İsbatı: Tutaq ki, təpəsi $A$ olan bucaq iki xətlə kəsilib. Birinci xəttin bucaqla kəsişmə nöqtələrində $BC$ parçası, ikinci xəttin bucaqla kəsişmə nöqtələrində $EG$ parçası alınacaq. Bilirik ki, $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AG}{GC}$. $E$ nöqtəsindən $BC$ xəttinə paralel olan $EF$ xəttini çəkək. Fales teoreminə görə $\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AF}{FC}$.

Teoremin şərtinə görə isə $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AG}{GC}$. Onda $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AG}{GC}$. Hər tərəfə $1$ əlavə etsək

$\dfrac{AF}{FC} +1 = \dfrac{AG}{GC}+1 \Rightarrow \dfrac{AF+FC}{FC} = \dfrac{AG+GC}{GC} \Rightarrow \dfrac{AC}{FC} = \dfrac{AC}{GC} \Rightarrow FC=GC$.

Deməli, $F$ və $C$ nöqtələri üst-üstə düşdü. Yəni $EG$ xətti $BC$ xəttinə paralel olan $EF$ ilə üst-üstə düşür. Teorem isbat olundu.

Üçbucağın orta xətti

Üçbucağın orta xətti onun iki tərəfinin ortasından keçən xəttə deyilir.

Fales teoremindən aşağıdakı teorem alınır.

Teorem: Üçbucağın orta xətti onun üçüncü tərəfinə paralel olub onun yarısına bərabərdir.

İsbatı: Biz, şəkildəki $FE$ parçasının $AB$ tərəfinə paralel olub bu tərəfin yarısına bərabər olduğunu isbat etməliyik. $FE$ və $AB$ xətlərinin paralelliyi yuxarıda isbat etdiyimiz Əks Fales teoremindən alınır.

İndi $E$ nöqtəsindən və $AB$ tərəfinin ortası olan $D$ nöqtəsindən xətt keçirsək eyni şərtə görə bu xətt də $AC$ xəttinə paralel olacaq. Deməli biz $ADEF$ paraleloqramı aldıq ki, paraleloqramın xassəsinə görə onun qarşı tərəfləri bərabərdir. Yəni $AD=FE$. $AD$ isə $AB$ tərəfinin yarısıdır. Teorem bütünlüklə isbat olundu.

Digər məqalələr