Yaranma tarixi: 31 Dekabr, 2017

Çevrənin və düz xəttin tənliyi

tənlik

 

Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin $(x; y)$ koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Bu tərifi tərsinə də demək olar. Əgər verilmiş tənliyi ödəyən istənilən ədədlər cütlüyü verilmiş fiqurun üzərindədirsə, bu tənlik həmin fiqurun tənliyidir.

Çevrənin tənliyi

Mərkəzi $O(a; b)$ nöqtəsində olan $R$ radiuslu çevrənin tənliyini verək. Çevrə üzərində ixtiyari A(x; y) götürsək, bu nöqtədən $O$ mərkəzinə qədər məsafə  $R$ olmalıdır. Nöqtələr arasındakı məsafə düsturuna görə

$R^2 = (x-a)^2+(y-b)^2$

Beləliklə, biz çevrənin tənliyini aldıq.

Düz xəttin tənliyi

Dekart koordinat sistemində ixtiyarı düz xətt aşağıdakı tənliklə verilir.

$ax+by+c=0$

$a$, $b$, $c$ istənilən ədədlərdir. $a$ və $b$ ədədlərindən heç olmazsa biri sıfırdan fərqlidir. Bunu isbat edək.

Tutaq ki, hər hansı $h$ xətti verilib (Şəkil 2). Bu düz xəttə perpendikulyar olan xətt çəkək və bu xətt üzərində iki $A_1$ və $A_2$ nöqtələrini qeyd edək. $A_1(x_1; y_1) $və $A_2(x_2; y_2)$ olsun. Parçanın ortasından qaldırılan perpendikulyar barədə teoremə görə $h$ üzərindəki ixtiyari $A(x; y)$ nöqtəsi $A_1$ və $A_2$ nöqtələrindən eyni məsafədədir. Ona görə nöqtələrin koordinatları aşağıdakı tənliyi ödəyir.

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 \Rightarrow \\
x^2-2x_1x+x_1^2+y^2-2y_1y+y_1^2 = x^2-2x_2x+x_2^2+y^2-2y_2y+y_2^2 \Rightarrow \\
2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y+(x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2)=0$

Aşağıdakı işarələməni aparaq:

$2(x_2-x_1)=a$, $2(y_2-y_1)=b$, $x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2=c$

Onda tənliyimiz sadə şəklə düşəcək:

$ax+by+c=0$

İşarələmədən görünür ki, $a$ və $b$ eyni zamanda sıfır olsa $x_2=x_1$ və $y_2=y_1$ olacaq, yəni $A_1$ və $A_2$ nöqtələri üst-üstə düşəcək.

Əgər $a=0$, $b \ne o$ olarsa, tənlik $by+c=0 \Rightarrow y= - \dfrac{c}{b}$. Yəni $x$ qiymətindən asılı olmayaraq $y$ sabit ədədə bərabərdir. Deməli düz xətt absis oxuna paralel olub ordinat oxunu $- \dfrac{c}{b}$ nöqtəsində kəsir.

Eynilə $b=0$, $a \ne 0$ olarsa düz xətt ordinat oxuna paralel olub absis oxunu $-\dfrac{c}{a}$ nöqtəsində kəsəcək.

$c=0$ olarsa, $(0; 0)$ nöqtəsi düz xəttin tənliyini ödəyir. Yəni düz xətt koordinat başlanğıcından keçir. Hər üç hal Şəkil 3-də göstərilib.

Düz xəttin bucaq əmsalı

Əgər düz xətin tənliyində $y$ əmsalı sıfırdan fərqlidirsə bu tənliyi $y$-ə görə həll etmək olar.

$ax+by+c=0 \Rightarrow y= - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$

Burada $-\dfrac{a}{b}=k$, $-\dfrac{c}{b}=l$ işarələsək $y=kx+b$ alarıq.

$k$ əmsalının həndəsi olaraq nə demək olduğunu aydınlaşdıraq. Düz xətt üzərində iki nöqtə götürək. $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələrinin koordinatları düz xəttin tənliyini ödəyir.

$y_1=kx_1+l$, $y_2=kx_2+l$

Bu tənlikləri bir-birindən çıxaq

$y_2-y_1=k(x_2-x_1) \Rightarrow k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Şəkil 4-ə baxsaq tangensin tərifinə görə, $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=tg \alpha$, Şəkil 5-də isə $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = -tg \alpha $ olduğunu görərik.

Deməli, $k$ əmsalı işarə dəqiqliyi ilə bu xəttin $x$ oxu ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə bərabərdir. Ona görə də düz xəttin tənliyində $k$-ya bucaq əmsalı deyilir.

Buradan aydın oldu ki, iki düz xətt bir-birinə paralel olarsa onların hər ikisi eyni bucaq əmsalına malik olmalıdır.

$y=k_1x+l_1$ və $y=k_2x+l_2$ düz xətlərinin paralel olması üçün $k_1=k_2$ olmalıdır.

Bu düz xətlər perpendikulyar olarsa onlar arasındakı bucaq $90°$ olmalıdır. Yəni birinin absis oxu ilə əmələ gətiridyi bucaq $\alpha$ olarsa, o birinin bucağı $\alpha + 90°$ olmalıdır. Yuxarıda isə göstərdik ki bucaq əmsalı həmin $\alpha$ bucağının tangensidir. Deməli,$k_1=tg \alpha$ olarsa

$k_2=tg (90°+\alpha) = \dfrac{sin (90°+\alpha) }{cos(90°+\alpha) } = \\[15pt] =\dfrac {sin 90° cos \alpha + cos 90° sin\alpha }{cos 90° cos \alpha - sin 90° sin \alpha } = \dfrac {cos \alpha}{-sin \alpha} = -ctg \alpha = -\dfrac {1}{k_1}$

Biz aldıq ki, iki düz xətt perpendikulyar olarsa onların bucaq əmsallarının hasili $-1$ olmalıdır ($k_1 k_2 =-1$).

Digər məqalələr