Yaranma tarixi: 19 Yanvar, 2019

Törəmə düsturları

Törəmənin tərifini sadə və proqramçıların başa düşəcəyi şəkildə artıq vermişik. İndi törəmənin həqiqi tərifinə diqqət yetirin.

Hər hansı $(a, b)$ intervalında təyin olunmuş və kəsilməz olan $y=f(x)$ funksiyasına baxaq. Bu intervalda istənilən $x_0$ nöqtəsini və funksiyanın həmin nöqtədəki $f(x_0)$ qiymətini nəzərdən keçirək. $x_0$ nöqtəsində arqumentə $\Delta x$ artımı versək, nəticədə $x_0 + \Delta x$ kəmiyyəti və həmin nöqtədə funksiyanın $f(x_0 + \Delta x)$ qiymətini alarıq.

Törəmə: Funksiyanın $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$ artımının, arqumentin həmin bu artımı yaradan $\Delta x$ fərqinə nisbətinə $\Delta x \rightarrow 0$ olduqda funksiyanın $x_0$ nöqtəsindəki törəməsi deyilir.

Bu törəmə $f’(x_0)$ kimi işarə edilir.

$f’(x_0) = \lim_\limits{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_\limits{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}$

Əgər bu limit sonludursa, onda deyirlər ki, $y=f(x)$ funksiyası $x_0$ nöqtəsində differensiallanandır. Funksiyanın törəməsinin tapılmasına differensiallama deyilir. Bu əməliyyatı aparmaq üçün differensiallama qaydalarını digər məqalədə vermişik. Burada isə standart funksiyaların törəmə düsturlarını veririk.

Müxtəlif funksiyaların törəmə düsturları

$(C)’=0; \ (x)’=1\\$
$(x^ \alpha)’= \alpha x ^ {\alpha-1}, \ x>0, \ \alpha \in R\\$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)’ = - \dfrac{1}{x^2}, \ x \neq 0\\$
$(e^x)’ =e^x; \ (\ln x)’ = \dfrac{1}{x}, \ x>0\\$
$(a^x)’=a^x \ln a, \ a>0, \ a \neq 1\\$
$(\log _a x)’ = \dfrac{1}{x \ln a}, \ x>0, \ a>0, \ a \neq 1\\$
$(\sin x)’ = \cos x; \ (\cos x)’ = - \sin x\\$
$(\mbox{tg} \ x)’ = \dfrac{1}{\cos ^2 x}; \ x \neq \dfrac{\pi}{2}+ \pi n , \ n \in Z\\$
$(\mbox {ctg} \ x)’ = - \dfrac{1}{\sin ^2 x}, \ x \neq \pi n , \ n \in Z\\$
$(\mbox {sh} \ x)’ = \mbox {ch} \ x; \ (\mbox {ch} \ x)’ = \mbox {sh} \ x\\$
$(\mbox {th} \ x)' = \dfrac{1}{\mbox {ch} ^2 x}; \ (\mbox {cth} \ x)' = - \dfrac {1}{\mbox {sh} ^2 x}\\$
$(\arcsin x)’ = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \ (\arccos x)’ = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\$
$(\mbox {arctg} \ x)’ = \dfrac{1}{1+x^2}; \ (\mbox {arcctg} \ x)’ = - \dfrac{1}{1+x^2}\\$
$(\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} , \ x>0\\$
$(|x|)’ = \mbox {sign} \ x = \begin{cases} 1, \ x>0 \\ -1, x<0  \end{cases}, x \neq 0$

Digər məqalələr

Törəmə nədir?

Proqramçılara törəmənin izahı. Çoxlarında riyaziyyatda törəmə mövzusu darıxdırıcı gəlir. Amma bu izahı oxusanız həmin mövzunu sevəcəksiniz. Çünki diskret halda türəmə nisbətdən başqa bir şey deyil.