Yaranma tarixi: 02 İyul, 2017

Paralel xətlər

Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir.

Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir. Paralel $a$ və $b$ xətlərini $ a \parallel b$ kimi işarə edirlər.

Düz xətlərin paralellik əlamətləri

Şəkil 1

Düz xətlərin paralelliyinin birinci əlaməti: Əgər müstəvidə iki xətt eyni üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, bu xətlər paraleldir.

İsbatı: Tutaq ki, bu xətlər paralel deyil və hər hansı H nöqtəsində kəsişir (Şəkil 1). Amma biz bilirik ki, düz xətt üzərində olmayan nöqtədən ona yalnız bir perpendikulyar endirmək olar. Burada isə iki perpendikulyar alırıq. Deməli xətlər kəsişə bilməz.

Düz xətlərin paralelliyinin ikinci əlaməti: Əgər müstəvidə iki xətt üçüncü xətt ilə kəsişərkən çarpaz bucaqlar bərabərdirsə, və ya uyğun bucaqlar bərabərdirsə, və ya birtərəfli bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdirsə, bu xətlər paraleldir.

Şəkil 2

İsbatı: Əvvəl isbat edək ki, $a$ və $b$ xəttini $c$ ilə kəsərkən çarpaz bucaqlar bərabərdirsə $a \parallel b$. Tutaq ki, $\angle 3 = \angle 5$ (Şəkil 2).

Şəkil 3

$c$ xəttinin $a$ və $b$ ilə kəsişmə nöqtələrini $C$ və $D$ ilə $CD$ parçasının mərkəzini isə $K$ ilə işarə edək (Şəkil 3). Bu $K$ nöqtəsindən $a$ xəttinə perpendikulyar endirək. Həmin perpendikulyarın davamı $b$ xəttini hansısa $B$ nöqtəsində kəsəcək. $ \angle CKA = \angle DKB $, çünki qarşılıqlı bucaqlardır.  Şərtə görə də $ \angle ACK = \angle BDK $. Onda üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle AKC = \triangle BKD$. Onda $\angle DBK=90°$, çünki $\angle CAK=90°$.

Deməli $AB$ xətti həm $a$, həm də $b$ xəttinə perpendikulyardır. Düz xətlərin paralelliyinin I əlamətinə görə $ a \parallel b$.

İndi isə $\angle 1 = \angle 5$ olduqda $a$ və $b$ xətlərinin paralelliyini isbat edək (Şəkil 2). $\angle 1 = \angle 3$, çünki qarşılıqlı bucaqlardır. Deməli uyğun bucaqların bərabər olması halı elə çarpaz bucaqların bərabərliyi halına gətirilir ki, bu halda xətlərin paralelliyini artıq isbat etmişik.

İndi tutaq ki, $\angle 3$ və $\angle 8$ birtərəfli bucaqlarının cəmi $180°$-dir.

$\angle 3 + \angle 8 = 180° \Rightarrow \angle 3 = 180° - \angle 8$

Digər tərəfdən $\angle 5 $ və $\angle 8 $ qonşu bucaqlar olduğundan

$\angle 5 + \angle 8 = 180° \Rightarrow \angle 5 = 180° - \angle 8$

Deməli, həm $\angle 3$,  həm də $\angle 5$ nəticədə bir-birinə bərabərdir. Bunlar isə çarpaz bucaqlardır və onların bərabər olduqları halda $a \parallel b$ olmasını artıq isbat etmişik.

Aksiom: Düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə yalnız bir paralel xətt çəkmək olar.

Teorem: Əgər iki paralel düz xətdən biri üçüncü xəttə paraleldirsə, onda o biri xətt də bu üçüncü xəttə paraleldir.

İsbatı: Tutaq ki, $a \parallel b$ və $a \parallel c$. Lakin $c$ və $b$ xətləri parallel deyil. Onda onlar hansısa $K$ nöqtəsində kəsişir. Lakin $b$ və $c$ xətlərinin hər ikisi $a$ xəttinə paralel olduğundan, bir $K$ nöqtəsindən $a$ xəttinə iki paralel xətt çəkmiş oluruq ki, bu da yuxarıdakı aksioma ziddir.

Teorem: İki paralel xətdən birini kəsən üçüncü xətt, o biri paralel xətti də kəsməlidir.

İsbatı: Tutaq ki, $a \parallel b$ və $c$ xətti $a$ xəttini kəsir, lakin $b$ xəttini kəsmir. Onda $c \parallel b$. $a$ və $c$ xətlərinin kəsişmə nöqtəsini yenə $K$ ilə işarə etsək, bu nöqtədən $b$ xəttinə iki paralel çəkmiş oluruq ki, bu da aksioma ziddir.

İki paralel xətti üçüncü ilə kəsərkən alınan bucaqların xassələrini bucaqlar bölməsində artıq yazmışıq.

Digər məqalələr

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Çoxbucaqlı

Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

Tək və cüt funksiyalar

Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur. Tək funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti də əksinə dəyişir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Perpendikulyar və mail

Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.

Paraleloqram

Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Qurma məsələləri

Qurma məsələsi dedikdə həmişə fiqurun yalnız xətkeş və pərgarın köməyilə qurulması nəzərdə tutulur. Xətkeş vasitəsilə yalnız düz xətt çəkmək mümkündür. Xətkeş vasitəsilə ölçmə əməliyyatı aparmaq olmaq. Pərgar vasitəsilə çevrə çəkmək, və ya xətt üzərində verilmiş ölçülü parça ayırmaq mümkündür.