Yaranma tarixi: 01 Aprel, 2018

Kommutativlik, assosiativlik və distributivlik

Kommutativlik qanunu

Məktəbdə riyaziyyat keçərkən ilk qaydanı yadınıza salın: “toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir”. Yəni

“birinci toplanan” + “ikinci toplanan” = “ikinci toplanan” + “birinci toplanan”

Amma bu yazılış riyazi olaraq çox uzundur. Ona görə “birinci toplanan” əvəzinə $a$, “ikinci toplanan” əvəzinə $b$ yazsaq bu qaydanı daha kompakt şəkildə aşağıdakı kimi yaza bilərik.

Eynilə “vuruqların yerini dəyişməklə hasil dəyişmir” qaydasını belə yaza bilərik.

Nöqtə işarəsini çox vaxt buraxırlar. Amma bu həmişə mümkün olmur. Əgər vuruqların biri ədəd, digəri hərf olarsa, və ya hər ikisi hərf olarsa nöqtəni yazmamaq olar. Lakin hər iki vuruq ədəd olarsa bunu etmək olmaz. Məsələn, $a \cdot b$ əvəzinə $ab$, $5 \cdot a$ əvəzinə $5a$ yazmaq olar, lakin $5 \cdot 7$ əvəzinə $57$ yaza bilmərik. Bəzən vurma işarəsini $\times$ və ya $*$ kimi də yazırlar. Beləliklə, $a \cdot b$, $a \times b$, $a*b$ və $ab$ hamısı vurmanı göstərir.

$(1)$ düsturuna riyaziyyatda toplamanın kommutativliyi, $(2)$ düsturuna isə vurmanın kommutativliyi deyilir. Başqa sözlə toplama və vurma əməlləri kommutativlik qanununa tabedir.

Assosiativlik qanunu

İndi iki deyil, üç ədədi toplayaq.
$$3+5+11=8+11=19$$
Toplama əməlini belə də yerinə yetirmək olar.
$$3+5+11=3+16=19$$
Əməllərin ardıcıllığını mötərizə ilə qeyd etsək $(3+5)+11$ yazılışı əvvəlcə $3$ ilə $5$-in toplanacağını göstərir. $3+(5+11)$ yazılışı isə əvvəlcə $5$ və $11$-in toplanacağını göstərir. Nəticə toplama əməliyyatının ardıcıllığından asılı deyil. Riyaziyyatda buna toplamanın assosiativliyi deyilir və aşağıdakı kimi yazılır.

Bunu başa düşməyin ən sadə yolu budur. Şirin çay düzəltmək üçün əvvəl dəmin (rəngin) üzərinə su əlavə edirik, sonra isə şəkər tozu qatırıq. Ya da ki, əvvəl rəngin üzərinə şəkər tozu əlavə edib sonra su qatırıq. Hər iki halda sonda şirin çay alınacaq.

Vurma əməli də toplama kimi assosiativlik qanununa tabedir.

Misallar: Assosiativlik qanununun bizə necə kömək etdiyini misallar üzərində göstərək.
1. $357+17999+1$ cəmimi tapmaq üçün fikrimizdə $357+17999$ əməlini yerinə yetirmək bir qədər çətindir. Lakin $17999+1$ əməlini rahat edə bilərik. Sonra isə $18000$ üzərinə asanlıqla $357$ gələ bilərik.
$$357+(17999+1) = 357 + 18000 = 18357$$
2. $1+2+3+ … +98+99+100$ cəmini tapaq. Bunun üçün toplananları aşağıdakı kimi iki-iki qruplaşdıraq.
$$ (1+100)+(2+99)+(3+98)+ … +(49+52)+(50+51)$$
Nəticədə $50$ qrup aldıq ki, hər birinin cəmi $101$-ə bərabərdir. Deməli, bizə lazım olan cəm aşağıdakı kimi hesablana bilər.
$$50 \cdot 101 = 5050$$
Məşhur riyazıyyatçı Karl Fredrix Qauss məktəbdə oxuyarkən riyaziyyat müəllimi onlara bu misalı verib ki, şagirdlərin başı qarışsın. Müəllim özü isə bu müddət ərzində dincəlməyi planlaşdırmışdı. Qauss bu cəmi fikrində hesablayaraq müəllimə cavabı deməklə onu şoka salmışdı.

Distributivlik qanunu

Toplama və vurmanın bir dənə də gözəl xassəsi var ki, ona distributivlik deyilir. Əgər $2$ oğlan və $3$ qızın hərəsinə $7$ alma versək oğlanların $2 \cdot 7 = 14$, qızların $3 \cdot 7 = 21$ alması olacaq. Nəticədə uşaqların $35$ alması olacaq.
$$2 \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 14+21 = 35$$
Eyni cavabı $2+3=5$ uşağın hərəsinə $7$ alma verməklə də almaq olar.
$$(2+3) \cdot 7 = 5 \cdot 7 = 35$$
Deməli,
$$(2+3) \cdot 7 = 2 \cdot 7 + 3 \cdot 7 $$
Buna distributivlik qanunu deyilir və belə yazılır.

Vurma əməli kommutativlik qanununa tabe olduğu üçün vuruqların yerini dəyişərək belə də yazmaq olar.

Misal: Fikrimizdə $1001 \cdot 20$ hesabatını aparmağa çalışaq. Bunun üçün $1001 \cdot 20 = (1000+1) \cdot 20 $ yaza bilərik. Bu vəziyyətdə vurma əməlini yerinə yetirmək son dərəcə asan olacaq.
$$(1000+1) \cdot 20 = 1000\cdot 20 + 1 \cdot 20 = 20000+20 = 20020$$
Distributivlik qanunu bizə mötərizələri açma qaydasını verir. Aşağıdakı vuruqlarda mötərizələri açaq.
$$(a+b)(m+n)$$
Bir anlığa təsəvvür edin ki, $(m+n)$ cəm deyil, hər hansı bir işarələmədir. Yəni $(m+n)$-ə tam bir vuruq kimi baxaq.
$$(a+b)(m+n)=a(m+n) + b (m+n)$$
İndi isə $(m+n)$-ə yenə cəm kimi baxıb bir daha distributivlik qanununu tətbiq edək.
$$a(m+n) + b (m+n) = am+an+bm+bn$$
Bunu bir qayda olaraq yadda saxlayın.

İki cəmi vurmaq üçün I cəmin hər bir həddini II cəmin hər bir hədinə vurub nəticəni toplamaq lazımdır.

Misal: $(a+b+c)(d+e)(x+y+z)$ hasilində mötərizələri aşandan sonra $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ sayda element olacaq.

Digər məqalələr

Toplama və alt-alta toplama

5+7 kimi toplama əməlini yəqin ki, hamınız fikrinizdə edirsiniz. Amma 18762+3529 kimi toplamanı fikrimizdə etmək o qədər də asan deyil. Ona görə alt-alta toplama adlı bir vasitə mövcuddur.

Cəbrdə hərflərin rolu

Əgər yadınızdadırsa 1-4-cü sinifdə oxuyan uşaqlar ev tapşırığını yerinə yetirərkən, məsələləri x (“iks”) ilə deyil, sual verməklə həll edirlər. Dediyimiz “iks” anlayışı daxil edilərkən bir çox uşaqlar çaşqınlıq yaşayır.