Yaranma tarixi: 28 Yanvar, 2018

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi

üçbucaq oxşar üçbucaq sahə xassə

 

I xassə: Əgər üçbucağın təpəsini onun oturacağına paralel düz xətt üzərində sürüşdürsək, onun sahəsi dəyişməz.

İsbatı: Bunun isbatı trivialdır. Şəkildən görünür ki, $ABC$ və $ADC$ üçbucaqlarının oturacaqları və hündürlükləri eynidir. Deməli, sahələri də eynidir.

---

II xassə: Əgər iki üçbucağın hündürlükləri eynidirsə, onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarınin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, hər iki üçbucağın hündürlüyü $h$-dır. Onda

$S_1=\dfrac{ah}{2}, \ S_2=\dfrac{bh}{2} \Rightarrow \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{ah}{2}}{\frac{bh}{2}} = \dfrac{a}{b}$

---

III xassə: Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-ə baxaq. Bu üçbucaqların sahəsini $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə tapaq.

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B \\[15pt] S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B$

Yenə nisbətə baxaq

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B}{\frac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN}$

---

IV xassə: Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

İsbatı: Şəkildəki üçbucaqların sahələrini yenə $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə hesablayaq. Tutaq ki, $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{BC}{BN} = k$. Onda III xassəyə görə bu sahələrin nisbəti

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN} = \dfrac {k MB \cdot k BN}{MB \cdot BN} = k^2$

---

V xassə: Üçbucağın medianı onu iki eyni böyüklükdə hissələrə bölür. Yəni iki eyni sahəli üçbucağa bölür.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, $\triangle ABM$ və $\triangle CBM$ -də hündürlük eynidir. Ona görə II xassəyə görə onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarının nisbətinə bərabərdir. Oturacaqlar da bərabər olduğu üçün bu nisbət 1-ə bərabərdir. Yəni sahələr eynidir.

---

VI xassə: Üçbucağın medianları onu 3 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: V xassəyə görə,  $S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$. $OB$ həm də $\triangle AOC$ üçün mediandir. Onda $S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle COB_1}$. Biz aldıq ki,

$S_{\triangle ABB_1} – S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle CBB_1} – S_{\triangle COB_1} \Rightarrow S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB}$.

Eynilə isbat olunur ki, $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}$

VII xassə: Üçbucağın medianları onu 6 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: VI xassəyə görə

$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOC}$

Deməli, bu sahələrin yarısı da bir-birinə bərabər olacaq. V xassəyə görə

$S_{\triangle AOB_1}=S_{\triangle COB_1} = \dfrac{S_{\triangle AOC}}{2}\\[15pt]
S_{\triangle AOC_1}=S_{\triangle BOC_1} = \dfrac{S_{\triangle AOB}}{2} \\[15pt]
S_{\triangle BOA_1}=S_{\triangle COA_1} = \dfrac{S_{\triangle BOC}}{2}$

Yəni, bütün bu üçbucaqların sahələri bərabərdir.

---

VIII xassə: Üçbucağın orta xətti onu 4 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: $MN$ xətti $\triangle ABC$ üçün orta xətt olduğundan oturacağın yarısına bərabərdir. Yəni $MN=\dfrac{AC}{2}$. Orta xətt Fales teoreminə görə həm də hündürlüyü yarı bölür. Onda $\triangle ABC$-nin hündürlüyü $h$ olarsa $\triangle MBN$-in hündürlüyü $\dfrac{h}{2}$ olacaq. $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-in sahələri belə olar

$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot h$

$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MN \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{2} \ \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{8} AC \cdot h=\dfrac{1}{4}S$

Eynilə $S_{\triangle AMK}$ və $S_{\triangle KNC}$-nin də sahələri $\dfrac{1}{4}S$-ə bərabərdir.  İndi $\triangle MNK$-nın sahəsini tapaq.

$S_{\triangle MNK} = S – 3 \cdot \dfrac{1}{4}S = \dfrac{1}{4}S$

Deməli bütün üçbucaqların sahələri bərabərdir.

Digər məqalələr