Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Yaranma tarixi:

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri


üçbucaq əlamətlər

 

Bərabər üçbucaqlar elə üçbucaqlara deyilir ki, onların hər üç təpə bucaqları və hər üç tərəfi bərabər olsun.

Üçbucaqların birinci bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucaq o biri üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucağa bərabərdirsə onda bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$ teoremdə deyilən şərti ödəyir.

Yəni $\angle A = \angle A_1$, $AB=A_1 B_1$, $AC=A_1 C_1$. Onda $A_1 B_1 C_1 $ üçbucağının $A_1$ təpəsini $ABC$ üçbucağının $A$  təpəsi üzərinə elə qoyaq ki, $A_1 B_1$ tərəfi $AB$ tərəfi yerləşən şüanın üstündə, $A_1 C_1$ tərəfi isə $AC$ tərəfi yerləşən şüanın üstündə olsun. Bu zaman $AB=A_1 B_1$ olduğundan $B$ və $B_1$ təpələri üst-üstə düşəcək. $AC=A_1 C_1$ olduğundan $C$ və $C_1$ təpələri üst-üstə düşəcək.

Bərabər üçbucaqlar

Ona görə $A$ təpəsi $A_1$, $B$ təpəsi $B_1$, $C$ təpəsi isə $C_1$ -in üstündə olacaq. Deməli $BC$ tərəfi də $B_1 C_1$ tərəfinin üstünə düşəcək. Yəni hər üç təpə bir-birinin üzərinə düşdü. Bununla da bütün tərəflər və bucaqlar bərabər oldu.

Üçbucaqların ikinci bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın bir tərəfi və ona söykənən bucaqlar o biri üçbucağın bir tərəfi və ona söykənən bucaqlara bərabərdirsə onda bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$ teoremdə deyilən şərti ödəyir. $AB=A_1 B_1$, $\angle CAB=\angle C_1 A_1 B_1$, $\angle CBA=\angle C_1 B_1 A_1$

Yenə $A_1 B_1 C_1 $ üçbucağını $ABC$ üşbucağı üzərinə elə yerləşdirək ki, $A_1 B_1$ tərəfi bütünlüklə $AB$ tərəfi üzərində otursun və $C_1$ təpəsi $C$ təpəsi ilə eyni yarımmüstəviyə düşsün.

Bərabər üçbucaqlar

Onda $\angle CAB = \angle C_1 A_1 B_1 $ olduğundan $A_1 C_1$ tərəfi $AC$ tərəfi yerləşən şüa üzərində $\angle CBA = \angle C_1 B_1 A_1$ olduğundan $C_1 B_1$ tərəfi $CB$ tərəfi yerləşən şüa üzərində olacaq. Deməli $C_1$ nöqtəsi hər iki şüa üzərində olmalıdır. Bu yalnız iki şüanın kəsişmə nöqtəsində ola bilər. Bu nöqtədə isə $C$ təpəsi durub. Yəni $C$ və $C_1$ təpələri də bir-birinin üzərinə düşür. Yenə $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$-də hər üç təpə bir-birinin üstünə düşdü. Bu da bütün tərəf və bucaqların bərabər olması deməkdir.

Üçbucaqların üçüncü bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın hər üç tərəfi o biri üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$ hər üç tərəfi bərabər olan üçbucaqlardır. $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1$. İsbat etməliyik ki, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

$\triangle A_1B_1C_1$-in $A_1C_1$ tərəfini $\triangle ABC$-nin $AC$ tərəfinə elə yerləşdirək ki, $B$ və $B_1$ təpələri $AC$ xəttinə nəzərən müxtəlif yarımmüstəvilərdə yerləşsin. $B$ və $B_1$ təpələrini birləşdirəm parça $AC$ xəttini hər hansı $F$ nöqtəsində kəsəcək. Bu $F$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasına düşə də bilər, düşməyə də. Biz $F$ nöqtəsinin $AC$ parçası daxilində olan halı isbat edəcəyik. İsbatdan görəcəksiniz ki, bu nöqtənin $AF$ parçasının davamı olan xətt üzərində yerləşən hal da analoji alınır.

Şərtə görə $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$. Deməli, $\triangle BAB_1$ və $\triangle BCB_1$ bərabəryanlıdır. Onda bərabəryanlı üçbucağın oturacaq bucaqları bərabər olduğu üçün$\angle AB_1F = \angle ABF$ və $\angle CB_1F = \angle CBF$. Deməli,

$\angle ABC = \angle ABF+\angle CBF = \angle AB_1F + \angle CB_1F = \angle AB_1C$

Onda üçbucaqların bərabərliyinin I əlamətinə görə,  $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Digər məqalələr

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Üçbucaq

Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Kosinuslar teoremi

Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Paralel xətlər

Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Çoxbucaqlı

Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

Tək və cüt funksiyalar

Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur. Tək funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti də əksinə dəyişir.

Perpendikulyar və mail

Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.