Yaranma tarixi: 17 Aprel, 2019

Üçbucağın tənböləninin xassələri

üçbucaq tənbölən

 

Üçbucağın tənböləninin xassələri bu məqalədə bir yerə yığmışıq.

Xassə 1: Üçbucağın tənböləni qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür (şəklə baxın).

Bu xassəni artıq isbat etmişik.

Xassə 2: Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidır.

Bu xassəni də burada və burada isbat etmişik.

Xassə 3: Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür.

Bu xassənin isbatını burada oxuya bilərsiniz.

Aşağıdakı xassələrin hamısında bu şəkildəki üçbucaqdan istifadə edəcəyik. $l$ tənböləninin üçbucağın $a$ oturacağını kəsərkən onu böldüyü parçaları $a_1$ və $a_2$ kimi işarə etmişik.

Xassə 4: Üçbucağın tənböləninin qarşı tərəfi böldüyü parçaları tərəflər vasitəsilə belə tapmaq olar.

İsbatı: Bu düsturlar birbaşa xassə 1-dəki $(1)$ düsturundan alınır.

$\dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a_2} \Rightarrow \dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a-a_1} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow ac-a_1c = ba_1 \Rightarrow (b+c)a_1 = ac \Rightarrow \\ \Rightarrow a_1 = \dfrac{ac}{b+c}\\$
$\dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a_2} \Rightarrow \dfrac{c}{a-a_2} = \dfrac {b}{a_2} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow ab-a_2b = ca_2 \Rightarrow (b+c)a_2 = ab \Rightarrow \\ \Rightarrow a_2 = \dfrac{ab}{b+c}$

Xassə 5: Üçbucağın tənböləninin uzunluğu bitişik və qarşı tərəflər vasitəsilə aşağıdakı düsturlarla hesablanır.

$l=\sqrt{bc-a_1a_2}\\$

$l=\dfrac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}\\$

$l=\dfrac{2\sqrt{bcp (p-a)}}{a+b}, \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

İsbatı: $a_1$ və $a_2$ parçalarının uzunluğunu kosinuslar teoremi vasitəsilə belə tapmaq olar.

$a_1 = c^2 + l^2 -2cl \cos \dfrac{\alpha}{2} \\[15pt]
a_2 = b^2 + l^2 -2bl \cos \dfrac{\alpha}{2}$

Bu iki bərabərliyi $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ –yə görə həll edib bərabərləşdirək.

$\dfrac{c^2+l^2-a_1^2}{2cl} = \dfrac{b^2+l^2-a_2^2}{2bl} \\[15pt]
(c^2+l^2-a_1^2)b=( b^2+l^2-a_2^2)c\\[10pt]
l^2(b-c) = b^2c-c^2b+a_1^2b-a_2^2c\\[10pt]
l^2(b-c) = bc(b-c) +a_1^2b-a_2^2c\\[10pt]
l^2=bc+\dfrac{ a_1^2b-a_2^2c }{b-c}$

$a_1$ və $a_2$ üçün xassə-4-dəki əvəzləmələri aparsaq:

$l^2 = bc + \dfrac{a^2c^2b-a^2b^2c}{(b-c)(b+c)^2} = \\[15pt]
=bc - \dfrac{a^2bc(b-c)}{(b-c)(b+c)^2} = bc - \dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}$

$(2)$ əvəzləmələrini tərsinə aparsaq xassədəki $(3)$ bərabərliyini alarıq.

$l^2 = bc-a_1a_2 \Rightarrow l=\sqrt{bc-a_1a_2}$

Əvəzləməni aparmadan ortaq məxrəcə gətirsək $(4)$ düsturunu alarıq.

$l^2 = bc-\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2} = \dfrac{bc(b+c)^2-a^2bc}{(b+c)^2} =\\[15pt]
= \dfrac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2} = \dfrac{bc(b+c+a)(b+c-a)}{(b+c)^2}\\[15pt]
l=\dfrac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}$

Bu düsturda $b+c+a=2p$ və $b+c-a=(b+c+a)-a-a=2p-2a=2(p-a)$ əvəzləmələrini aparsaq $(5)$ düsturunu almış olarıq.

$l=\dfrac{\sqrt{bc \cdot 2p \cdot 2(p-a)}}{a+b} = \dfrac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{a+b}$

Xassə 6: Tənböləni bitişik tərəflər və yarım bucağın kosinusu vasitəsilə belə ifadə etmək olar:

$l=\dfrac{2bc \cos \dfrac{\alpha}{2}}{b+c}$

İsbatı: $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ və $\triangle ABC$ üçün sahə düsturlarını $A$ təpəsindəki bucaqların sinusu vasitəsilə yazaq.

$S_{ABD} = \dfrac{1}{2}cl \sin \dfrac{\alpha}{2}$, $S_{ACD} = \dfrac{1}{2}bl \sin \dfrac{\alpha}{2}$, $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}bc \sin \alpha$

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ olduğu üçün

$\dfrac{1}{2}bc \cdot\sin \alpha = \dfrac{1}{2}cl \cdot \sin \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{2}bl \cdot\sin \dfrac{\alpha}{2} \\[15pt]
bc \cdot 2\sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} = l \cdot \sin \dfrac{\alpha}{2}(b+c) \\[15pt]
2bc \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} = l(b+c) \Rightarrow l = \dfrac{2bc \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2}}{b+c}$

Məsələlər

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr