Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə
Yaranma tarixi:
Sadə fiqurların sahəsi
kvadrat paraleloqram düzbucaqlı trapesiya üçbucaq sahə
Sahə termininin başqa adına kvadratura deyilir. Bu da təsadüfi deyil. Çünki sahə vahidi olaraq tərəfi 1 olan kvadrat götürülür. Yəni istənilən fiqurun sahəsi onun içinə neçə vahid kvadratın yerləşməsi deməkdir. Ona görə də sadə dildə desək tərəfi $a$ olan kvadrat daxilinə $a^2$ qədər vahid kvadrat yerləşir. Hətta $a$ rasional ədəd olsa belə. Sadəcə bu halda daxildəki kvadratlar da tam olmayacaq. Başqa sözlə tərəfi $a$ olan kvadratın sahəsi $a^2$ olacaq.
$$S = a^2$$
Düzbucaqlının sahəsi
İndi düzbucaqlının sahəsinə baxaq. Tutaq ki, düzbucaqlının tərəfləri $a$ və $b$-yə bərabərdir. Tapacağımız sahəni $S$ ilə işarə edək. Bu sahəni hələ bilmirik. Amma söz veririk ki, biləcəyik. Bildiyimiz sahə hələ ki, kvadratın sahəsidir. Ona görə bu düzbucaqlını kvadrata tamamlayaq.
Bunun üçün onun $a$ tərəfinə $b$ qədər, $b$ tərəfinə isə $a$ qədər quraq verək. Nəticədə belə bir kvadrat alırıq ki, tərəfi $a+b$ olur. Bu kvadratın sahəsi $(a+b) \times (a+b)$ olacaq.
Digər tərəfdən aldığımız böyük kvadratın daxilində iki kvadrat və iki düzbucaqlı var. Bu düzbucaqlıları özümüz çəkmişik və bilirik ki, bunlar eyni tərəflərə malik, yəni eyni düzbucaqlılardır. Ona görə sahələri də bərabərdir. Deməli, böyük kvadratın sahəsi onu təşkil edən iki eyni düzbucaqlı və kvadratların sahələri cəminə bərabərdir. Yəni $a^2+b^2+2S$ olacaq. Bu, yuxarıda yazdığımız sahə ilə eynidir. Onları bərabərləşdirək.
$(a+b)(a+b) = a^2+ b^2+ 2S \implies $ $a^2+ 2ab + b^2= a^2+b^2+2S \implies $ $2ab = 2S \implies $ $S = ab$
Deməli düzbucaqlının sahəsi, onun iki tərəfinin uzunluqları hasilinə bərabərdir.
Paraleloqramın sahəsi
Paraleloqramın iki qarşı tərəfi paraleldir. Gördüyünüz paraleloqramda $A$ təpəsindən $DC$ tərəfinə perpendikulyar endirsək $ADE$ üçbucağını alarıq. Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər olduğu üçün $AD = BC$. Onda $ADE$ üçbucağını kəsib $BC$ tərəfinə birləşdirsək düzbucaqlı almış oluruq. Bu düzbucaqlının $AB$ tərəfi paraleloqramınki ilə eyni olacaq. Buna oturacaq deyəcəyik. Digər tərəfi isə paraleloqramın hündürlüyünə bərabər olacaq. Düzbucaqlının sahəsini isə artıq tapa bilirik.
$$S = ah$$
Deməli paraleloqramın sahəsi onun hündürlüyü ilə oturacağı hasilinə bərabərdir.
Üçbucağın sahəsi
İndi keçək üçbucaqlara. Şəkildəki $ABC$ üçbucağının sahəsini tapmağa cəhd göstərək. Bu üçbucağın $BC$ tərəfinə eyni üçbucaqdan birini də tərsinə əlavə edək. Biz dördbucaqlı alarıq. Amma bu nə cür dördbucaqlıdır?
Üçbucaqlar eyni olduğundan alınan dördbucaqlının da qarşı tərəfləri bərabər olacaq. $AB = CD$ və $AC = BD$. Tərəfləri bərabər olan dördbucaqlı ən azından paraleloqramdır. Əgər bütün tərəfləri bərabər olsaydı romb, perpendikulyar olsaydı düzbucaqlı, hətta kvadrat da olardı. Bizə isə paraleloqram olması kifayətdir. Çünki paraleloqramın sahəsini artıq tapa bilirik. Bu sahə $ah$ –a bərabərdir. Bu paraleloqram iki bərabər üçbucaqdan ibarət olduğundan bizə lazım olan üçbucağın sahəsi bu tapdığımız sahəni yarısına bərabərdir.
$$S = \frac{ah}{2}$$
Trapesiyanın sahəsi
Trapesiyanın iki qarşı tərəfi paraleldir. Şəkildə trapesiyanı diaqonal ilə iki üçbucağa bölmüşük. $\triangle ABD$ və $\triangle BCD$. Hər iki üçbucağın hündürlüyü $h$-dır. $ABD$ üçbucağının oturacağı $AB$, $BCD$ üçbucağının oturacağı $CD$-dir. Bunları uyğun olaraq $a$ və $b$ ilə işarələsək üçbucaqların sahələri belə olacaq.
$$S_{ABD} = \dfrac{ah}{2} $$ $$S_{BCD} = \dfrac{bh}{2}$$Onda trapesiyanın sahəsi
$$S = S_{ABD} + S_{BCD} = \dfrac{ah}{2} + \dfrac{bh}{2} = \dfrac{(a+b)h}{2} = \dfrac{a+b}{2}h$$
Deməli, trapesiyanın sahəsi, oturacaqları cəmini yarısı ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir.
Rombun sahəsi
Romb paraleloqramın xüsusi halı olduğu üçün onun sahəsini də oturacağı və hündürlüyü vasitəsilə tapmaq olar. Biz burada alternativ varianta baxacağıq.
Şəkildəki rombun diaqonalları kəsişərək 4 üçbucaq əmələ gətirir. Baxaq görək bunlar nə üçbucaqlardır və bizə nə verə bilərlər. Əvvəlcə $AOB$ və $DOC$ üçbucaqlarına baxaq. Bu üçbucaqlarda
$AB = DC,$ $\angle OAB = \angle OCD, $ $\angle ABO = \angle CDO$
Çünki $AB$ və $DC$ rombun tərəfləridir. Bucaqlar isə iki paralel xəttin üçüncüsü ilə kəsişməsindən alınan çarpaz bucaqlardır. Deməli $AOB$ və $DOC$ üçbucaqları üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə bərabərdir. Onda bu üçbucaqlar bərabərdir. Deməli onların uyğun tərəfləri də bərabərdir. $AO=OC$ və $DO=OB$. Onda $AOD$ və $DOC$ üçbucaqlarında $AO=OC$, $AD=DC$ və $DO$ tərəfi ortaqdır. Deməli bu üçbucaqlar üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü əlamətinə görə bərabərdir. Aldıq ki, romb 4 bərabər üçbucaqdan təşkil olunub. Yəni rombun sahəsi bu üçbucaqlardan birinin sahəsinin 4 mislinə bərabərdir.
Bu üçbucaqların O təpəsindəki bucaqları da bərabərdir. Onda bu təpədəki bucaqların ölçüsü $360/4=90°$ olacaq. Yəni rombun diaqonalları düz bucaq altında kəsişir. Bir az əvvəl isə tapdıq ki, bu diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür. Diaqonalları $d_1$ və $d_2$ ilə işarə etsək, hər bir üçbucağın oturacağı $\frac{d_1}{2}$, hündürlüyü isə $\frac{d_2}{2}$ olacaq. Onda üçbucağın sahəsi
$$S_\triangle = \dfrac{\frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2}}{2} = \dfrac{d_1 d_2}{8}$$
Rombun isə sahəsi
$$S = 4 \cdot S_\triangle = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{d_1 d_2}{2}$$
Deməli, rombun sahəsini diaqonalları vasitəsilə də tapıla bilər. Belə ki, bu sahə rombun diaqonalları hasilinin yarısına bərabərdir.
Əgər dostlarınızın da həndəsəni yada salmasını istəyirsinizsə bu məqaləni olarla bölüşün.
Digər məqalələr
Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat
Əgər kvadratın tərəfi üçbucağın bir tərəfində yerləşib digər iki təpəsi üçbucağın digər tərəfləri üzərindədirsə bu kvadrat üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat adlanır. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın tərəfi bu üçbucağın oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin, həmin oturacaq ilə həmin hündürlük cəminə nisbətinə bərabərdir.
Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.
Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.
Üçbucağın sahəsi
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.
Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.
Paralel xətlər
Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.
Çoxbucaqlı
Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.
Tək və cüt funksiyalar
Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur. Tək funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti də əksinə dəyişir.
Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.
Perpendikulyar və mail
Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.
Dördbucaqlının sahəsi
Qabarıq dördbucaqlının sahəsi onun diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişmə nöqtəsində əmələ gələn bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir. Əgər bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək mümkündürsə onun sahəsini Braxmaqupta düsturu vasitəsi ilə də tapmaq olar.
© Müəllif hüquqları qorunur
Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.