Yaranma tarixi: 31 Dekabr, 2017

Paralel köçürmə və dönmə

hərəkət

 

Paralel köçürmə

Fiqurun istənilən $(x;y)$ nöqtəsi $(x+a; y+b)$ nöqtəsinə keçərsə buna paralel köçürmə deyilir. Paralel köçürmə müstəvi dekart koordinat sistemində belə verilir.

$x’=x+a, \ y’=y+b$

Bu paralel köçürmə nəticəsində hər bir $(x;y)$ koordinatlı nöqtə $(x’;y’)$ koordinatlı nöqtəyə keçir.

Teorem: Paralel köçürmə hərəkətdir.

İsbatı: $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələri paralel köçürmə nəticəsində $A’(x_1+a; y_1+b)$ və $B’(x_2+a; y_2+b)$ nöqtələrinə keçirsə, onlar arasında məsafə Pifaqor teoreminə görə belə olacaq.

$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
$A’B’^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$

Buradan aldiq ki, $AB=A’B’$. Deməli paralel köçürmə zamanı məsafə saxlanılır. Yəni o, hərəkətdir.

Teorem: Paralel köçürmədə nöqtələr paralel və ya eyni xətt üzrə eyni məsafədə sürüşür.

İsbatı: Tutaq ki, yenə $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələri $A’(x_1+a; y_1+b)$ və $B’(x_2+a; y_2+b)$ nöqtələrinə keçir (bax Şəkil 1). $AB’$ parçasının ortasının koordinatları belə olacaq.

$x=\dfrac{x_1+x_2+a}{2}, \ y=\dfrac{y_1+y_2+b}{2}$

$A’B$ parçasının da orta nöqtəsinin koordinatları eynidir. Deməli, $AA’B’B$ dördbucaqlısının diaqonalları kəsişib, kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür. Yəni bu dördbucaqlı paraleloqramdır (paraleloqramın 3-cü əlamətinə görə). $AA’$ ilə $BB’$, $AB$ ilə $A’B’$ bu paraleloqramın qarşı tərəfləri olduğu üçün paralel və bərabərdirlər. Deməli paralel köçürmədə düz xətt ona paralel düz xəttə keçir. $AA’=BB’$ bərabərliyi isə $A$ və $B$ nöqtələrinin eyni qədər sürüşməsini göstərir.

Şəkil 2

Əgər $B$ nöqtəsi $AA’$ düz xətti üzərində olsa (Şəkil 2) $B’$ də həmin düz xətt üzərində olacaq. Çünki $AB’$ düz xəttinin mərkəzi $\left(\dfrac{x_1+x_2+a}{2}; \dfrac{y_1+y_2+b}{2}\right)$ $BA’$ düz xətinin mərkəzi isə $\left(\dfrac{x_2+x_1+a}{2}; \dfrac{y_2+y_1+b}{2}\right)$ olduğundan bu mərkəzlər üst-üstə düşür. Yəni $D$ nöqtəsi həm $AA'$, həm də $BB'$ düz xəttləri üzərindədir. $BB'$ düz xəttinin $B$ və $D$ nöqtələri $AA'$ düz xətti üzərində olduğu üçün bu düz xəttin bütün nöqtələri, yəni $B'$ nöqtəsi də həmin düz xətt üzərindədir. Deməli, $A$, $B$, $A’$, $B’$ nöqtələrinin hamısı bir düz xətt üzərindədir. Onda

$AA’ = \sqrt{(x_1+a-x_1)^2+(y_2+b-y_1)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$
$BB’ = \sqrt{(x_2+a-x_2)^2+(y_2+b-y_2)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$

Deməli, $AA’=BB’$, yəni bu halda da $A$ nöqtəsi $A’$ nöqtəsinə keçərkən nə qədər sürüşürsə, $B$ nöqtəsi də $B’$ nöqtəsinə keçərkən o qədər sürüşür. $AB$ xətti isə özü özünə keçır.

Teorem: İstənilən $A$ və $A’$ nöqtələri üçün yalnız bir paralel köçürmə var ki, $A$ nöqtəsi $A’$ nöqtəsinə keçir.

Şəkil 3

İsbatı: Əvvəlcə $A$ nöqtəsini $A’$ nöqtəsinə çevirən paralel köçürmənin varlığını isbat edək. Tutaq ki, $A(a_1;a_2)$ və $A’(a_1’;a_2’)$ koordinatları verilib (Şəkil 3). Onda, aşağıdakı düsturla verilən paralel köçürmə $A$ nöqtəsini $A’$-ə çevirəcək.

$x’=x+a_1’-a_1, \ y’=y+a_2’-a_2$

Doğrudan da $x=a_1, y=a_2$ halında $x’=a_1’, y’=a_2’$ olacaq.

İndi isə paralel köçürmənin yeganəliyini isbat edək. Tutaq ki, $X$ nöqtəsi bu paralel köçürmədə $X’$-ə keçir. Əvvəl isbat etdiyimiz teoremə görə $XA’$ və $AX’$ parçalarının ikisi də eyni ortaq $O$ nöqtəsinə malidir. Yəni biz $X$ və $A’$ nöqtələrinin koordinatlarını bilərək $O$ nöqtəsini tapa bilərik. Sonra isə $A$ və $O$ vasitəsilə $X’$ nöqtəsini birqiymətli təyin edə bilərik. $X’$ nöqtəsinin birqiymətli təyini yeganəliyi isbat edir.

Dönmə

hərəkət

 

Verilmiş nöqtə ətrafında dönmə zamanı bu nöqtədən çıxan hər bir şüa həmin istiqamətdə eyni bucaq qədər dönür. Yəni $F$ fiqurunun hər hansı $X$ nöqtəsi $F’$ fiqurunun $X’$ nöqtəsinə keçirsə, $F$ fiqurunun bütün digər nöqtələri də $F’$ fiqurunun uyğun nöqtələrinə keçərkən $\angle XOX’$ qədər dönəcək və $OX=OX’$ olacaq (Şəkil 4-ə baxın). Həmin $\alpha$ bucağı dönmə bucağı, verilmiş $O$ nöqtəsi isə dönmə mərkəzi adlanır.

Teorem: Dönmə hərəkətdir.

İsbatı: Tutaq ki, $O$ dönmə mərkəzi, $\alpha$ isə dönmə bucağıdır. Aşağıdakı Şəkil 5-ə baxın. Dönmə nəticəsində $M$ nöqtəsi $M’$, $N$ nöqtəsi isə $N’$ nöqtəsinə keçir. Onda dönmənin tərifinə görə

$\angle MOM’=\angle NON’$

Hər iki tərəfdən $\angle NOM'$ çıxsaq

$\angle MOM’ - \angle NOM’ = \angle NON’ - \angle NOM’ \Rightarrow \angle MON=\angle M’OM’$

Yenə də dönmənin tərifinə görə $OM=OM’$, $ON=ON’$.

Onda üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə $\triangle MON=\triangle M’ON’$.

Bu bərabərlikdən alınır ki, $MN=M’N’$, yəni dönmə zamanı nöqtələr arasındakı məsafə saxlanılır. Bu isə hərəkət deməkdir.

Şəkil 5

Digər məqalələr