Навигатор


Архив

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Дата создания:

Понятие многофокусных эллипсов (часть III)


эллипс

 

Уравнения-неравенства, образующиe один эллипс

Уравнения-неравенства, задающие все шесть участков разных эллипсов

Выберем в произвольной области систему координат $XOY$ на плоскости, и произвольным образом на плоскости выберем три точки. $F_k(a_k,b_k); k=1,2,3$, являются фокусами. Выписываем уравнение прямых проходящих через эти точки.

Система координат

Рисунок 4

В нормированном виде уравнения выглядят так:

1) прямая $F_1 F_2$: \[\frac{x-a_1}{a_2-a_1}=\frac{y-b_1}{b_2-b_1};\]

2) прямая $F_2 F_3$: \[\frac{x-a_2}{a_3-a_2}=\frac{y-b_2}{b_3-b_2};\]

3) прямая $F_1 F_3$: \[\frac{x-a_1}{a_3-a_1}=\frac{y-b_1}{b_3-b_1}.\]

Уравнения прямых в общем виде: $Ax+By+C=0$

Уравнения 1), 2) и 3) будут представлены в виде $Ax+By+C=0$:

Для 1) :

\[ \begin{aligned} &(x-a_1)(b_2-b_1)=(y-b_1)(a_2-a_1)\\ &(b_2-b_1)x - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1)=0 \end{aligned} \]

Для 2) :

\[ \begin{aligned} &(x-a_2)(b_3-b_2)=(y-b_2)(a_3-a_2)\\ &(b_3-b_2)x - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2)=0 \end{aligned} \]

Для 3) :

\[ \begin{aligned} &(x-a_1)(b_3-b_1)=(y-b_1)(a_3-a_1)\\ &(b_3-b_1)x - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1)=0 \end{aligned} \]

$I$ область

Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $I$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)&x - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 - \\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны (см.Рисунок 5):

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)&x - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ &(a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))<0 \end{aligned} \]

I область эллипса

Рисунок 5

$II$ область

Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $II$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ & (a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны (см.Рисунок 6):

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

II область эллипса

Рисунок 6

$III$ область

Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $III$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 7):

\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

III область эллипса

Рисунок 7

$IV$ область

Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $IV$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 - \\ &(a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 8):

\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

IV область эллипса

Рисунок 8

$V$ область

Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $V$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ & (a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))<0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 9):

\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]

V область эллипса

Рисунок 9

$VI$ область

И наконец, зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $VI$ области.

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ одинаковы:

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x &- (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ & (a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]

В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны (см.Рисунок 10):

\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x &- (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_2 -\\ & (a_3-a_2)b_2 -((b_3-b_2)a_1-(a_3-a_2)b_1))<0 \end{aligned} \]

VI область эллипса

Рисунок 10

Выделяя нужные нам участки, получаем гладкую фигуру, которая называется трехфокусным эллипсом (см.Рисунок 11).

Трехфокусный эллипс

Рисунок 11

Примеры

Рассмотим несколько примеров, когда фокусы $F_1 F_2 F_3$ образуют:

а) прямоугольный треугольник:

Трехфокусный эллипс с фокусами прямоугольного треугольника

б) тупоугольный треугольник:

Трехфокусный эллипс с фокусами тупоугольного треугольника

в) равнобедренный треугольник (горизогтальный, сплюснутый):

Трехфокусный эллипс с фокусами равнобедренного сплюснутого треугольника

г) равнобедренный треугольник (вертикальный, вытянутый):

Трехфокусный эллипс с фокусами равнобедренного вытянутого треугольника

д) равносторонний треугольник:

Трехфокусный эллипс с фокусами равностороннего треугольника

Замечание 2.

Наглядно Пример д) показывает, что если фокусы образуют правильную фигуру, то образованная фигура из трехфокусного эллипса превращается в окружность.

Полный текст статьи в формате PDF

Автор статьи: Алиева Захра

Читайте также

Понятие многофокусных эллипсов (часть II)

Вторая часть статьи про Многофокусные эллипсы. Определение трехфокусного эллипса, теорема, доказательство и заключение

Понятие многофокусных эллипсов (часть I)

Излагаемая работа посвящена трехфокусному и многофокусному эллипсу. Здесь будет приведено, как построение этих эллипсов, так и аналитический вид уравнения этих эллипсов, что является первичной публикацией в этом направлении.

© Все права защищены

Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.