Дата создания: 29 Октябрь, 2023

Понятие многофокусных эллипсов (часть I)

эллипс

 

Содержание

Введение

Трехфокусный эллипс

Теоремы. Замечания. Определения

Уравнения-неравенства, образующиe один эллипс

Уравнения прямых в общем виде: $Ax+By+C=0$

Введение

Kак известно, если на плоскости зафиксирована некоторая точка, то геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от этой точки, является окружностью. Если на плоскости фиксирована пара несовпадающих точек то, геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от этих фиксированных точек, есть величина постоянная, является эллипсом. Мы в заданной плоскости $\pi$ фиксируем три точки (попарно не совпадающих) $F_k(x_k,y_k), k=1,2,3$. Далее в работе даётся определение трехфокусного эллипса, который является обобщением понятия обычного эллипса, и изучаются его свойства.

Трехфокусный эллипс

Построение трехфокусного эллипса

Возьмем гладкую доску. Забьем наполовину три гвоздя так, чтобы они образовывали на доске некоторый треугольник. Проведем прямые из вершин этих гвоздей. Эти три прямые разбивают доску (плоскость) на семь (7) частей. Одна часть ограничена треугольником (область VII, которая не указана на рисунке), а другие шесть не ограничены. Обозначая их в положительном направлении (против часовой стрелки) I, II, III, IV, V, VI получаем:

Пусть периметр треугольника $F_1F_2F_3$ и равен $P$. Теперь возьмем нить длиною $2a$ так, чтобы $2a>P$ и обвязывая концы замкнем ее.

$P = |F_1 F_2 |+|F_2 F_3 |+|F_3 F_1 |$

Полученную замкнутую нить подставим на плоскость так, чтобы эти три гвоздя оказались внутри этой замкнутой линии. Натягивая эту нить ручкой рисуем замкнутую линию $L$.

Рисунок 1

Через $L_k$ обозначим часть линии $L$, которая попадает на $k$-ю неограниченную часть плоскости. Точку, которая движется по замкнутой линии $L$, обозначим буквой $M$. Тогда, движение точки $M$ на $L_1$, удовлетворяет следующему соотношению:

$|F_1 M|+|F_2 M|=2a-|F_1 F_2 | $

Потому что длина замкнутой нити $2a$, т.е.

$|F_1 F_2 |+|F_1 M|+|F_2 M|=2a$

Учитывая, что правая часть $(1)$ не зависит от $М$, т.е. является постоянной, то линия $L_1$, является частью эллипса с фокусами в точке $F_1$ и $F_2$.
Для линии $L_2$ получим:

$|F_1 M |+| F_3 M |=2a-|F_1 F_2 |-|F_2 F_3 | $

Правая часть которого также не зависит от $M$, т.е. постоянна. Поэтому $L_2$ также является частью эллипса с фокусами в точках $F_1$ и $F_3$. Продолжая этот процесс можно сказать, что $L_k$ являются частями некоторого эллипса и являются гладкими.

Далее $L_1$ и $L_4$ являются частями различных эллипсов с фокусами в точках $F_1$ и $F_2$, $L_2$ и $L_5$ также являются частями различных эллипсов с фокусами в точках $F_1$ и $F_3$. Наконец $L_3$ и $L_6$ являются частями различных эллипсов с фокусами в точках $F_2$ и $F_3$. Теперь на эту плоскость поставим некоторую прямоугольную (Декартову) систему координат. Пусть $F_k (a_k, b_k), k=1,2,3$, т.е. гвозди имеют координаты $(a_k, b_k), k=1,2,3$. Координаты движущейся точки $M$ обозначим через $(x,y)$, т.е. $M(x,y)$. На каждой проведенной прямой зафиксируем два луча. На линии $F_1 F_2$ обозначим через $L_{12}$ луч, начинающийся с точки $F_1$ и проходящий через точку $F_2$ а $L_{21}$ - луч, начинающийся с точки $F_2$ и проходящий через точку $F_1$. Также отметим остальные лучи $L_{23},L_{32},L_{13},L_{31}$. Каждый луч $L_{ij}$ пересекает линию L в единственной точке. Эту точку обозначим через $M_{ij}$.

Рисунок 2

Исследование уравнений

Уравнение $L_1$

Уравнение $(1)$ примет вид:

$\sqrt{(x-a_1 )^2+(y-b_1 )^2} + \sqrt{(x-a_2 )^2+(y-b_2 )^2} = 2a_1 $

где:

$2a-\sqrt{(a_1-a_2 )^2+(b_1-b_2 )^2}=2a_1$

величина постоянная. Упрощая уравнение $(3)$, т.е., возведя в квадрат, получим:

\[ \begin{aligned} &(x-a_1)^2+(y-b_1)^2+\\ &+2\sqrt{(x-a_1 )^2+(y-b_1)^2}\sqrt{(x-a_2)^2+(y-b_2 )^2}+\\ &+(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=4a_1 ^2 \end{aligned} \]

или

\[ \begin{aligned} &2\sqrt{(x-a_1 )^2+(y-b_1 )^2}\sqrt{(x-a_2 )^2+(y-b_2 )^2}=\\ &=4a_1^2-(x-a_2)^2-(y-b_2)^2-(x-a_1)^2-(y-b_1 )^2 \end{aligned} \]

или же еще раз возведя в квадрат, получим:

\[ \begin{aligned} &4[(x-a_1)^2+(y-b_1)^2][(x-a_2)^2+(y-b_2)^2 ]=16a_1^4+(x-a_1)^4+(y-b_1 )^4+\\[3pt] &+(x-a_2 )^4+(y-b_2 )^4-8a_1^2(x-a_1 )^2-8a_1^2(y-b_1 )^2-8a_1^2 (x-a_2 )^2-\\[3pt] &-8a_1^2 (y-b_2 )^2+2(x-a_1 )^2 (y-b_1 )^2+2(x-a_1 )^2 (x-a_2 )^2+2(x-a_1 )^2(y-b_2)^2+\\[3pt] &+2(y-b_1 )^2 (x-a_2 )^2+2(y-b_1 )^2 (y-b_2 )^2+2(x-a_2 )^2 (y-b_2 )^2 \end{aligned} \]

Раскрывая левую часть, находим:

$4(x-a_1)^2(x-a_2)^2+4(x-a_1)^2(y-b_2)^2+4(y-b_1)^2(x-a_2)^2+ 4(y-b_1 )^2(y-b_2 )^2$

Тогда выражение $(5)$ примет вид:

\[ \begin{aligned} &16a_1^4+[(x-a_1)^2-(x-a_2)^2]^2+[(y-b_1)^2-(y-b_2)^2]^2 -8a_1^2(x-a_1)^2-8a_1^2(y-b_1)^2-\\[3pt] &-8a_1^2(x-a_2)^2-8a_1^2(y-b_2)^2+2(xy-a_1y-b_1x+a_1b_1)^2+2(xy-a_1y-b_2x+a_1b_2)^2+\\[3pt] &+2(xy-b_1x-a_2 y+a_2 b_1)^2+2(xy-b_2x-a_2 y+a_2 b_2)^2-4(xy-b_2x-a_1 y+a_1b_2 )^2-\\[3pt] &-4(xy-b_1x-a_2y+a_2b_1)^2=0 \end{aligned} \]

или

\[ \begin{aligned} &16a_1^4+(a_2-a_1)[2x-(a_1+a_2)]+(b_2-b_1)[2y-(b_1+b_2)]-\\[3pt] &-8a_1^2[(x-a_1)^2+ (y-b_1)^2+(x-a_2)^2+(y-b_2 )^2]+\\[3pt] &+2[x^2y^2+(a_1y+b_1x)^2+a_1^2 b_1^2-2xy(a_1y+b_1x) +2a_1b_1xy-2a_1b_1(a_1y+b_1x)]+\\[3pt] &+2[x^2y^2+(a_1y+b_2x)^2+a_1^2b_2^2- 2xy(a_1y+b_2x) +2a_1b_2xy-2a_1b_2(a_1y+b_2x)]+\\[3pt] &+2[x^2y^2+(a_2 y+b_1 x)^2+a_2^2 b_1^2-2xy(a_2 y+b_(1 ) x) +2a_2 b_1 xy-2a_2 b_1 (a_2 y+b_1 x)]+\\[3pt] &+ 2[x^2 y^2+(a_2 y+b_2 x)^2+a_2^2 b_2^2-2xy(a_2 y+b_(2 ) x) +2a_2 b_2 xy-2a_2 b_2 (a_2 y+b_2 x)]-\\[3pt] &- 4[x^2 y^2+(a_1 y+b_2 x)^2+a_1^2 b_2^2-2xy(a_1 y+b_(2 ) x) +2a_1 b_2 xy-2a_1 b_2 (a_1 y+b_2 x)]-\\[3pt] &-4[x^2 y^2+(a_2 y+b_1 x)^2+a_2^2 b_1^2-2xy(a_2 y+b_1 x) +2a_2 b_1 xy-2a_2 b_1 (a_2 y+b_1 x)]=0 \end{aligned} \]

После указанных сокращений выражение $(6)$ примет вид:

\[ \begin{aligned} &8a_1^2[(x-a_1)^2+(y-b_1)^2+(x-a_2)^2+(y-b_2)^2]-2(a_1y+b_1x)^2-4a_1b_1xy+\\[3pt] &+2(a_1y+b_2x)^2+4a_1 b_2xy+2(a_2 y+b_1 x)^2+4a_2b_1xy-2(a_2y+b_2x)^2-4a_2 b_2xy-\\[3pt] &-2(a_2-a_1)x-2(b_2-b_1)y+4a_1b_1(a_1y+b_1x)+4a_1b_2(a_1 y+b_2 x)+4a_2b_1(a_2y+b_1x)+\\[3pt] &+4a_2b_2(a_2y+b_2 x)-8a_1b_2(a_1y+b_2x)-8a_2b_1(a_2y+b_1x)=16a_1^4-(a_2^2-a_1^2)-\\[3pt] &-(b_2^2-b_1^2)+2a_1^2 b_1^2+2a_1^2 b_2^2+2a_2^2b_1^2+2a_2^2b_2^2-4a_1^2 b_2^2-4a_2^2 b_1^2 \end{aligned} \]

Таким образом для $L$ , получим уравнение $(7)$ которое содержит лишь вторую степень $x$ и $y$. Все слагаемые, содержащие выше второй степени, сократились. Действительно это является лишь линией второго порядка. Окончательно, уравнение для $L_1$ примет вид: $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+G=0$, то есть:

\[ \begin{aligned} &4 (-4 a^4 - 4 a^2 a_1^2 + 12 a^2 a_1 a_2 - 4 a^2 a_2^2 - 4 a^2 b_1^2 + a_2^2 b_1^2 + 8 a^3 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} -\\ & -2 a a_1^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} - 2 a a_2^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} -\\ & -2 a b_1^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} + 2 a ((a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2)^{3/2} +\\ & +12 a^2 b_1 b_2 - 2 a_1 a_2 b_1 b_2 - 4 a^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 - 2 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} b_2^2 -\\ & -4 a^2 a_1 x - 4 a^2 a_2 x - 2 a_2 b_1^2 x + 4 a a_1 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} x +\\ & 4 a a_2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} x + 2 a_1 b_1 b_2 x + 2 a_2 b_1 b_2 x - 2 a_1 b_2^2 x + 4 a^2 x^2 + b_1^2 x^2 -\\ & -4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} x^2 - 2 b_1 b_2 x^2 + b_2^2 x^2 - 4 a^2 b_1 y + 2 a_1 a_2 b_1 y - 2 a_2^2 b_1 y + \\ & +4 a b_1 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} y - 4 a^2 b_2 y - 2 a_1^2 b_2 y + 2 a_1 a_2 b_2 y +\\ & +4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} b_2 y - 2 a_1 b_1 x y + 2 a_2 b_1 x y + 2 a_1 b_2 x y -\\ & -2 a_2 b_2 x y + 4 a^2 y^2 + a_1^2 y^2 - 2 a_1 a_2 y^2 + a_2^2 y^2 - 4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} y^2)=0 \end{aligned} \]

где:

\[ \begin{aligned} \\A=& 4(4 a^2 + b_1^2 - 4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} - 2 b_1 b_2 + b_2^2 )\\ \\B=& 4(- 2 a_1 b_1 + 2 a_2 b_1 + 2 a_1 b_2 - 2 a_2 b_2) \\ \\C=& 4(4 a^2 + a_1^2 - 2 a_1 a_2 + a_2^2 - 4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}) \\ \\D=& 4(-4 a^2 a_1 - 4 a^2 a_2 - 2 a_2 b_1^2 + 4 a a_1 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} +\\ & +4 a a_2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} + 2 a_1 b_1 b_2 + 2 a_2 b_1 b_2 - 2 a_1 b_2^2 ) \\ \\E=& 4(- 4 a^2 b_1 + 2 a_1 a_2 b_1 - 2 a_2^2 b_1 + 4 a b_1 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} -\\ & -4 a^2 b_2 - 2 a_1^2 b_2 + 2 a_1 a_2 b_2 + 4 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} b_2)\\ \\G=& 4 (-4 a^4 - 4 a^2 a_1^2 + 12 a^2 a_1 a_2 - 4 a^2 a_2^2 - 4 a^2 b_1^2 + a_2^2 b_1^2 + 8 a^3 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} -\\ & -2 a a_1^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} - 2 a a_2^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} -\\ & -2 a b_1^2 \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} + 2 a ((a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2)^(3/2) +\\ & +12 a^2 b_1 b_2 - 2 a_1 a_2 b_1 b_2 - 4 a^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 - 2 a \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2} b_2^2)\\ \end{aligned} \]

Точно также упрощаются все уравнения $L_k, k=2-6$.

Уравнение $L_2$

Для $L_2$:

$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+G=0$

где:

\[ \begin{aligned} \\A=&-4(-4a^2 +2a_1a_2-2a_2^2 -2a_1a_3+2a_2a_3 -b_1^2 +2b_1b_2-2b_2^2 +\\[5pt] &+4a\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} +2b_2b_3-b_3^2 +4a\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }-\\[5pt] &-2\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} )\\ \\B=&-4(+2a_1b_1-2a_3b_1-2a_1b_3+2a_3 b_3)\\ \\C=&-4(-4a^2 -a_1^2 +2a_1a_2-2a_2^2 +2a_2a_3 -a_3^2 +2b_1b_2-2b_2^2 +\\[5pt] &+4a\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}- 2b_1b_3 +2b_2b_3+4a\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}-\\[5pt] &-2\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 } )\\ \\D=&-4(4a^2 a_1-2a_1^2 a_2+2a_1a_2^2 +4a^2 a_3 +2a_1^2 a_3 -4a_1a_2a_3 +2a_2^2 a_3 +2a_1a_3^2 -2a_2a_3^2 +\\[5pt] &+2a_3 b_1^2-2a_1b_1b_2- 2a_3 b_1b_2+2a_1b_2^2 +2a_3 b_2^2 -4aa_1\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} -\\[5pt] &-4aa_3 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 } -2a_1b_2b_3-2a_3 b_2b_3+2a_1b_3^2 -\\[5pt] &-4aa_1\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }-4aa_3\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} +\\[5pt] &+2a_1\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} +\\[5pt] &+2a_3\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} )\\ \\E=&-4(+4a^2 b_1-2a_1a_2b_1+2a_2^2 b_1-2a_2a_3 b_1+2a_3^2 b_1-2b_1^2 b_2+2b_1b_2^2 -\\[5pt] &-4ab_1\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 } +4a^2 b_3+2a_1^2 b_3-2a_1a_2b_3+2a_2^2 b_3-\\[5pt] &-2a_2a_3 b_3+2b_1^2 b_3-4b_1b_2b_3+2b_2^2 b_3-4a\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} b_3+\\[5pt] &+2b_1b_3^2 -2b_2b_3^2 -4ab_1\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} +\\[5pt] &+2b_1\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} -\\[5pt] &-4ab_3\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} +\\[5pt] &+2\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} b_3\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2})\\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \\G=&-4(4a^4+4a^2a_1^2-12a^2 a_1 a_2+12a^2 a_2^2+2a_1^2a_2^2-4a_1 a_2^3+2a_2^4-12a^2 a_2 a_3-\\[5pt] &-2a_1^2 a_2 a_3+6a_1a_2^2 a_3-4a_2^3 a_3+4a^2a_3^2-2a_1a_2a_3^2+ 2a_2^2a_3a_3^2+4a^2b_1^2+\\[5pt] &+a_2^2b_1^2-2a_2a_3b_1^2-12a^2b_1b_2+2a_1a_2b_1b_2-4a_2^2b_1b_2+6a_2a_3b_1b_2-2a_3^2 b_1b_2+12a^2 b_2^2+\\[5pt] &+a_1^2b_2^2-4a_1a_2b_2^2+4a_2^2b_2^2-4a_2a_3b_2^2+a_3^2b_2^2+ 2b_1^2 b_2^2-4b_1b_2^3+2b_2^4-\\[5pt] &-8a^3 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 }+2aa_1^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}-\\[5pt] &-6aa_2^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} +12aa_2a_3 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}-\\[5pt] &-4aa_3^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}+2ab_1^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 }-\\[5pt] &-6ab_2^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}-2a((-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2)^{3/2}-\\[5pt] &-12a^2b_2b_3-2a_1^2b_2b_3+6a_1a_2b_2b_3- 4a_2^2b_2b_3+ 2a_2a_3b_2b_3-2b_1^2b_2b_3+ 6b_1b_2^2 b_3-\\[5pt] &-4b_2^3 b_3+12ab_2\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}b_3+4a^2b_3^2-2a_1a_2b_3^2+ a_2^2b_3^2- 2b_1b_2b_3^2+\\[5pt] &+2b_2^2b_3^2-4a\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 } b_3^2-8a^3 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+ b_3)^2}-\\[5pt] &-4aa_1^2 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }+12aa_1a_2\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }-\\[5pt] &-6aa_2^2 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }+2aa_3^2 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }-\\[5pt] &-4ab_1^2 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}+12ab_1b_2\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}- \\[5pt] &-6ab_2^2\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+ b_3)^2}+\\[5pt]&+12a^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+ b_3)^2}-\\[5pt]&-a_1^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 } \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2 }-\\[5pt]&-a_3^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}-\\[5pt]&-b_1^2 \sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}+\\[5pt]&+((-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2)^{3/2} \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} +\\[5pt]&+2ab_3^2\sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2}-\\[5pt] &-\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2 }b_3^2 \sqrt{(-a_2+a_3)^2+(-b_2+b_3)^2} -\\[5pt] &-2a((-a_2+a_3)^2+(-b_2+ b_3)^2)^{3/2}+\\[5pt]&+\sqrt{(-a_1+a_2)^2+(-b_1+b_2)^2}((-a_2+a_3)^2+(-b_2+ b_3)^2)^{3/2}) \end{aligned} \]

Уравнение $L_3$

Для $L_3$ коэфиценты будут равны:

\[ \begin{aligned} \\A=&4(4 a^2 + b_2^2 - 2 b_2 b_3 + b_3^2 - 4 a \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\B=&4(- 2 a_2 b_2 + 2 a_3 b_2 + 2 a_2 b_3 - 2 a_3 b_3)\\ \\C=&4(4 a^2+ a_2^2 - 2 a_2 a_3 + a_3^2 - 4 a \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\D=&4(-4 a^2 a_2 - 4 a^2 a_3 - 2 a_3 b_2^2 + 2 a_2 b_2 b_3 + 2 a_3 b_2 b_3 - 2 a_2 b_3^2 + 4 a a_2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2}+\\ &+4 a a_3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\E=&4( - 4 a^2 b_2 +2 a_2 a_3 b_2 - 2 a_3^2 b-2 - 4 a^2 b_3 - 2 a_2^2 b_3 + 2 a_2 a_3 b_3 +\\ &+ 4 a b_2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} + 4 a b_3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\G = &4(-4 a^4 - 4 a^2 a_2^2 + 12 a^2 a_2 a_3 - 4 a^2 a_3^2 - 4 a^2 b_2^2 +a_3^2 b_2^2 + 12 a^2 b_2 b_3 - 2 a_2 a_3 b_2 b_3 - 4 a^2 b_3^2 +\\ &+a_2^2 b_3^2 + 8 a^3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 2 a a_2^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\ &-2 a a_3^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 2 a b_2^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\ &-2 a b_3^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} + 2 a ((-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2)^{3/2})\\ \end{aligned} \]

Уравнение $L_4$

Для $L_4$ коэфиценты будут равны:

\[ \begin{aligned} \\A=&-4(- 4 a^2 - 2 a_1 a_2 +2 a_1 a_3 + 2 a_2 a_3 - 2 a_3^2 - b_1^2 x- b_2^2 + 2 b_1 b_3 + 2 b_2 b_3 -\\ & -2 b_3^2 +4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 4 a \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\ &-2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} )\\ \\B=& -4(2 a_1 b_1 - 2 a_2 b_1 - 2 a_1 b_2 + 2 a_2 b-2 )\\ \\C=&-4(-4 a^2 - a_1^2 -a_2^2 + 2 a_1 a_3 + 2 a_2 a_3 -2 a_3^2 - 2 b_1 b_2 + 2 b_1 b_3 + 2 b_2 b_3 -\\ & -2 b_3^2 +4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 4 a \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - \\ &-2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\D=& -4(4 a^2 a_1 + 4 a^2 a_2 + 2 a_1^2 a_2 + 2 a_1 a_2^2 -2 a_1^2 a_3 - 4 a_1 a_2 a_3 -\\[5pt] & -2 a_2^2 a_3 + 2 a_1 a_3^2 + 2 a_2 a_3^2 + 2 a_2 b_1^2 + 2 a_1 b_2^2 -2 a_1 b_1 b_3 -\\[5pt] & -2 a_2 b_1 b_3 - 2 a_1 b_2 b_3 - 2 a_2 b_2 b_3 + 2 a_1 b_3^2 + 2 a_2 b_3^2 -\\[5pt] &-4 a a_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 4 a a_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-4 a a_1 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 4 a a_2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 a_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 a_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2})\\ \\E=& -4(4 a^2 b_1 + 2 a_2^2 b_1 - 2 a_1 a_3 b_1 - 2 a_2 a_3 b_1+ 2 a_3^2 b_1+ 4 a^2 b_2 + 2 a_1^2 b_2 - 2 a_1 a_3 b_2 -\\[5pt] &-2 a_2 a_3 b_2 + 2 a_3^2 b_2 + 2 b_1^2 b_2 + 2 b_1 b_2^2 - 2 b_1^2 b_3 - 4 b_1 b_2 b_3 - 2 b_2^2 b_3 + 2 b_1 b_3^2 + 2 b_2 b_3^2 -\\[5pt] &-4 a b_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 4 a b_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-4 a b_1 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 4 a b_2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 b_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 b_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} )\\ \\G=& -4(4 a^4 + 4 a^2 a_1^2 + 4 a^2 a_2^2 - 12 a^2 a_1 a_3 - 12 a^2 a_2 a_3 - 2 a_1^2 a_2 a_3 - 2 a_1 a_2^2 a_3 + 12 a^2 a_3^2 + 2 a_1^2 a_3^2 +\\[5pt] &+6 a_1 a_2 a_3^2 + 2 a_2^2 a_3^2 - 4 a_1 a_3^3 - 4 a_2 a_3^3 + 2 a_3^4 + 4 a^2 b_1^2 - 2 a_2 a_3 b_1^2 + a_3^2 b_1^2 + 4 a^2 b_2^2 - 2 a_1 a_3 b_2^2 +\\[5pt] &+a_3^2 b_2^2 - 12 a^2 b_1 b_3 - 2 a_2^2 b_1 b_3 + 2 a_1 a_3 b_1 b_3 + 6 a_2 a_3 b_1 b_3 - 4 a_3^2 b_1 b_3 - 12 a^2 b_2 b_3 - 2 a_1^2 b_2 b_3 +\\[5pt] &+ 6 a_1 a_3 b_2 b_3 + 2 a_2 a_3 b_2 b_3 - 4 a_3^2 b_2 b_3 - 2 b_1^2 b_2 b_3 - 2 b_1 b_2^2 b_3 + 12 a^2 b_3^2 + a_1^2 b_3^2 + a_2^2 b_3^2 -4 a_1 a-\\[5pt] &-3 b_3^2 -4 a_2 a_3 b_3^2 + 4 a_3^2 b_3^2 + 2 b_1^2 b_3^2 + 6 b_1 b_2 b_3^2 + 2 b_2^2 b_3^2 -4 b_1 b_3^3 - 4 b_2 b_3^3 + 2b_3^4 - \\[5pt] &-8 a^3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} +2 a a_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-4 a a_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 12 a a_2 a_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-6 a a_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 2 a b_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-4 a b_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 12 a b_2 b_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}-\\[5pt] &-6 a b_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 2 a ((-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2)^{3/2} -\\[5pt] &-8 a^3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 4 a a_1^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 a a_2^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} + 12 a a_1 a_3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\[5pt] &-6 a a_3^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - 4 a b_1^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 a b_2^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} + 12 a b_1 b_3 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\[5pt] &-6 a b_3^2 \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+12 a^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} \sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - \\[5pt] &-a_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}\sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\[5pt] &-a_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}\sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - \\[5pt] &-b_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}\sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} - \\[5pt] &-b_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}\sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} +\\[5pt] &+((-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2)^{3/2}\sqrt{(-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2} -\\[5pt] &-2 a ((-a_2 + a_3)^2 + (-b_2 + b_3)^2)^{3/2} +\\[5pt] &+\sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}((-a_2 + a_3)^2 +(-b_2 + b_3)^2)^{3/2})\\ \end{aligned} \]

Уравнение $L_5$

Для $L_5$ коэфиценты будут равны:

\[ \begin{aligned} \\A=&4( 4 a^2 + b_1^2 - 2 b_1 b-3 + b_3^2 -4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} )\\ \\B=&4( 2 a_1 b_1 +2 a_3 b_1 + 2 a_1 b_3 - 2 a_3 b_3)\\ \\C=& 4(4a^2 + a_1^2 -2 a_1 a_3 + a_3^2 - 4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} )\\ \\D=&4(-4 a^2 a_1 -4 a^2 a_3 - 2 a_3 b_1^2 + 2 a_1 b_1 b_3 + 2 a_3 b_1 b_3 - 2 a_1 b_3^2 +\\[5pt] & +4 a a_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} +4 a a_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2})\\ \\E=&4(-4 a^2 b_1 +2 a_1 a_3 b_1 - 2 a_3^2 b_1 - 4 a^2 b_3 - 2 a_1^2 b_3 +2 a_1 a_3 b_3 +\\[5pt] & +4 a b_1 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 4 a b_3\sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2}) \\ \\G=&4(-4 a^4 - 4 a^2 a_1^2 + 12 a^2 a_1 a_3 - 4 a^2 a_3^2 - 4 a^2 b_1^2 + a_3^2 b_1^2 + 12 a^2 b_1 b_3 - 2 a_1 a_3 b_1 b_3 - 4 a^2 b_3^2 +\\[5pt] &+a_1^2 b_3^2 + 8 a^3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 2 a a_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-2 a a_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 2 a b_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-2 a b_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + 2 a ((-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2)^{3/2}) \end{aligned} \]

Уравнение $L_6$

Для $L_6$ коэфиценты будут равны:

\[ \begin{aligned} \\A=&-4(4 a^2 x^2 - 2 a_1^2 x^2 + 2 a_1 a_2 x^2 + 2 a_1 a_3 x^2 - 2 a_2 a_3 x^2 - 2 b_1^2 x^2 + 2 b_1 b_2 x^2 - b_2^2 x^2 + \\[5pt] &+4 a \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} x^2 + 2 b_1 b_3 x^2 - b_3^2 x^2 + 4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x^2 - \\[5pt] &-2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x^2)\\ \\B=&-4(2 a_2 b_2 x y - 2 a_3 b_2 x y - 2 a_2 b_3 x y + 2 a_3 b_3 x y )\\ \\C=&-4(- 4 a^2 - 2 a_1^2 + 2 a_1 a_2- a_2^2 + 2 a_1 a_3 - a_3^2 - 2 b_1^2 + 2 b_1 b_2 +\\[5pt] & +4 a \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} + 2 b_1 b_3 - 2 b_2 b_3 + 4 a \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2})\\ \\D=& -4(4 a^2 a_2 x + 2 a_1^2 a_2 x - 2 a_1 a_2^2 x + 4 a^2 a_3 x + 2 a_1^2 a_3 x - 4 a_1 a_2 a_3 x + 2 a_2^2 a_3 x - \\[5pt] &-2 a_1 a_3^2 x + 2 a_2 a_3^2 x + 2 a_2 b_1^2 x + 2 a_3 b_1^2 x - 2 a_2 b_1 b_2 x - 2 a_3 b_1 b_2 x + 2 a_3 b_2^2 x - \\[5pt] &-4 a a_2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} x - 4 a a_3 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} x -\\[5pt] &-2 a_2 b_1 b_3 x -2 a_3 b_1 b_3 x + 2 a_2 b_3^2 x - 4 a a_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x - \\[5pt] &-4 a a_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x + \\[5pt] &+2 a_2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2}\sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x +\\[5pt] &+2 a_3 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2}\sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} )\\ \\E=&-4(2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} x^2 + 4 a^2 b_2 y +\\[5pt] &+ 2 a_1^2 b_2 y - 2 a_1 a_2 b_2 y - 2 a_1 a_3 b_2 y + 2 a_3^2 b_2 y + 2 b_1^2 b_2 y - 2 b_1 b_2^2 y - \\[5pt] &-4 a b_2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} y +4 a^2 b_3 y + 2 a_1^2 b_3 y - 2 a_1 a_2 b_3 y + 2 a_2^2 b_3 y - \\[5pt] &-2 a_1 a_3 b_3 y + 2 b_1^2 b_3 y - 4 b_1 b_2 b_3 y + 2 b_2^2 b_3 y - 4 a \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} b_3 y -\\[5pt] &- 2 b_1 b_3^2 y + 2 b_2 b_3^2 y - 4 a b_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} y + \\[5pt] &+2 b_2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} y - \\[5pt] &-4 a b_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} y +\\[5pt] &+2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} b_3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} y )\\ \\G=&-4(4 a^4 + 12 a^2 a_1^2 + 2 a_1^4 - 12 a^2 a_1 a_2 - 4 a_1^3 a_2 + 4 a^2 a_2^2 + 2 a_1^2 a_2^2 - 12 a^2 a_1 a_3 - 4 a_1^3 a_3 + \\[5pt] &+6 a_1^2 a_2 a_3 - 2 a_1 a_2^2 a_3 + 4 a^2 a_3^2 + 2 a_1^2 a_3^2 - 2 a_1 a_2 a_3^2 + 12 a^2 b_1^2 + 4 a_1^2 b_1^2 - 4 a_1 a_2 b_1^2 +\\[5pt] &+a_2^2 b_1^2 - 4 a_1 a_3 b_1^2 + a_3^2 b_1^2 + 2 b_1^4 - 12 a^2 b_1 b_2 - 4 a_1^2 b_1 b_2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + 6 a_1 a_3 b_1 b_2 - 2 a_3^2 b_1 b_2-\\[5pt] &-4 b_1^3 b_2 + 4 a^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 - 2 a_1 a_3 b_2^2 + 2 b_1^2 b_2^2 - 8 a^3 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} - \\[5pt] &-6 a a_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} + 2 a a_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} +\\[5pt] &+12 a a_1 a_3 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} - 4 a a_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} -\\[5pt] &-6 a b_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} + 2 a b_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} - \\[5pt] &-2 a ((-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2)^{3/2} - 12 a^2 b_1 b_3 - 4 a_1^2 b_1 b_3 + 6 a_1 a_2 b_1 b_3 - 2 a_2^2 b_1 b_3 +\\[5pt] &+ 2 a_1 a_3 b_1 b_3 - 4 b_1^3 b_3 + 6 b_1^2 b_2 b_3 - 2 b_1 b_2^2 b_3 + 12 a b_1 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2}b_3 +\\[5pt] &+ 4 a^2 b_3^2 + a_1^2 b_3^2 - 2 a_1 a_2 b_3^2 + 2 b_1^2 b_3^2 - 2 b_1 b_2 b_3^2 -4 a \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} b_3^2 - \\[5pt] &-8 a^3 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 6 a a_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} +\\[5pt] &+12 a a_1 a_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 4 a a_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} +\\[5pt] &+2 a a_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 6 a b_1^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + \\[5pt] &+12 a b_1 b_2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - 4 a b_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + \\[5pt] &+12 a^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-a_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} - \\[5pt] &-a_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-b_2^2 \sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} + \\[5pt] &+ ((-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2)^{3/2} \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} +\\[5pt] &+ 2 ab_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-\sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} b_3^2 \sqrt{(-a_1 + a_3)^2 +(-b_1 + b_3)^2} -\\[5pt] &-2 a ((-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2)^{3/2} +\\[5pt] & +\sqrt{(-a_1 + a_2)^2 + (-b_1 + b_2)^2} ((-a_1 + a_3)^2 + (-b_1 + b_3)^2)^{3/2}) \end{aligned} \]

Далее читайте здесь

Полный текст статьи в формате PDF

Автор статьи: Алиева Захра

Читайте также