Дата создания: 07 Октябрь, 2019

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Задача 4

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Решение

Нет, не следует. Возможно, $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=-a$. Например:

$\lim \limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n}-a\right)=-a$

Из условия предела модуля последовательности не следует, что сама последовательность вообще имеет предел. Примером может быть следующая последовательность:

$x_n=(-1)^n\cdot a$

Эта последовательность не сходится. При четных значениях $n$, $x_n=a$, при нечетных $x_n=-a$.

Задача 5

Докажите, что последовательность $\{x_n\}$ расходится, если

а) $x_n=n$; б)$x_n=\ln n$; в) $x_n = n^{(-1)^n}$

Решение

а) Необходимым условием сходимости последовательности является его ограниченность. А для последовательности $x_n=n$, при $\forall M>0, \ \ \exists n=[M]+1$, что $|x_n|=[M]+1>M$.

б) Решим следующее неравенство относительно $n$.

$|\ln n|>M \Rightarrow \ln n > M \Rightarrow \ln n > M \ln e \Rightarrow\\
\Rightarrow \ln n > \ln e^M \Rightarrow n>e^M$

Значит, $\forall M>0, \ \ \exists n=[e^M]+1$, что $|x_n|>M$.

в) При нечетных значениях $n$ эта последовательность получает значения, близкие к нулю. А при четных значениях $n$, с ростом $n$ она стремится к бесконечности. $\forall M>0, \ \ \exists n=2([M]+1)$, что $(2([M]+1))^{(-1)^{2([M]+1)}}=2([M]+1)>M$.

Читайте также

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$