Yaranma tarixi: 27 Yanvar, 2018

Vektorların skalyar hasili

vektor koordinat

 

İki vektorun skalyar hasili onların uzunluğu ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. Vektorların skalyar hasili $\vec{a}\cdot \vec{b}$ kimi işarə edilir.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| cos (\widehat {\vec{a}\vec{b}})$

Əgər $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorları ortoqonaldırsa $cos 90°=0$ olduğu üçün $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$. Əgər $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ olarsa, və $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorları sıfırdan fərqlidirsə, $(1)$ bərabərliyindən alırıq ki, $ cos (\widehat{ \vec{a}\vec{b}})=0$, yəni $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}=90°$. Deməli, iki sıfırdan fərqli vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız o zaman sıfır olar ki, bu vektorlar perpendikulyar olsun.

$(1)$ düsturundan həm də alınır ki, sıfırdan fərqli vektorların skalyar hasilinin qiyməti $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}<90°$ olarsa mənfi, $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}>90°$ olarsa müsbət olacaq.

Əgər $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$ olarsa $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Xüsusi halda $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| ^2$. Ona görə $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a} ^2$ kimi də işarə edirlər və bu yazılışa skalyar kvadrat deyilir.

Teorem: dekart koordinat sistemində $\vec{a}(x_1; y_1)$ və $\vec{b}(x_2; y_2)$ vektorlarının skalyar hasili $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1y_2$ düsturu ilə hesablanır.

İsbatı: Əgər $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarından heç olmazsa biri sıfırdırsa, onda onun koordinatları da sıfıra bərabərdir. Deməli skalyar hasil və teoremdəki bərabərliyin hər ikisi sıfır olacaq. Ona görə $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarının hər ikisinin sıfırdan fərqli halına baxaq. $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarını $O$ nöqtəsinə köçürsək, əgər bu vektorlar kollinear deyilsə kosinuslar teoreminə görə

$AB^2 = OA^2+OB^2-2OA \cdot OB \cdot cos \alpha$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \vec{b}-\vec{a}$ və $\vec{a}\cdot \vec{b} = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = OA \cdot OB \cdot cos \alpha$ olduğundan $(2)$ bərabərliyində $AB$ əvəzinə $\vec{b}-\vec{a}$, $OA \cdot OB \cdot cos \alpha$ əvəzinə isə $\vec{a}\vec{b}$ yaza bilərik.

$|\vec{b}-\vec{a} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2 \vec{a}\vec{b} \Rightarrow \vec{a}\vec{b} = \dfrac{1}{2} (|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2)$

Bu tənlikdə $|\vec{a}|^2=x_1^2+y_1^2$, $|\vec{b}|^2=x_2^2+y_2^2$, $|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$. Bu əvəzləmələri $(3)$ tənliyində yerinə yazaq

$\vec{a} \vec{b} = \dfrac{1}{2} (x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2) = \\ = \dfrac{1}{2}(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-x_2^2+2x_1x_2-x_1^2-y_2^2+2y_1y_2-y_2^2)= x_1x_2+y_1y_2$

Nəticə 1: İki $\vec{a}(x_1;y_1)$ və $\vec{b}(x_2;y_2)$ vektorlarının ortoqonallığı üçün zəruri və kafi şərt $x_1x_2+y_1y_2=0$ olmasıdır.

Nəticə 2: İki $\vec{a}(x_1;y_1)$ və $\vec{b}(x_2;y_2)$ ortoqonal olmayan vektorları və onlar arasındakı $\alpha$ bucağı üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$cos \alpha = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Doğrudan da bir tərəfdən $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos \alpha $, digər tərəfdən isə $\vec{a}\vec{b} = x_1x_2+y_1y_2$ olduğundan,

$x_1x_2+y_1y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|cos \alpha = \sqrt {x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2} cos \alpha$

Buradan $cos \alpha$-ni tapsaq nəticədə göstərilən bərabərliyi alarıq.

Skalyar hasilin xassələri

Skalyar hasil aşağıdakı xassələrə malikdir. İstənilən $\vec{a}$, $\vec{b}$ və $\vec{c}$ vektorları və $k$ ədədi üçün

1. $\vec{a}^2 \geqslant 0$, əgər $\vec{a} \neq \vec{0}$ olarsa, $\vec{a}^2 > 0$ olacaq
2. $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$ – kommutativlik (yerdəyişmə) qanunu doğrudur
3. $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ – distributivlik (paylama və ya paylaşdırma) qanunu doğrudur
4. $(k\vec{a})\cdot \vec{b} = k(\vec{a}\cdot \vec{b})$ – assosiativlik (qruplaşdırma) qanunu

I qayda $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ düsturundan alınır.

II qayda skalyar hasilin tərifindən alınır.

III və IV qaydaları isbat edək. Bunun üçün dördbucaqlı koordinat sistemində $\vec{a}$, $\vec{b}$ və $\vec{c}$ vektorlarının koordinatlarını uyğun olaraq $(x_1;y_1)$, $(x_2; y_2)$ və $(x_3; y_3)$ kimi qəbul edək. Bilirik ki, vektorlar toplanarkən onların koordinatları toplanır. Onda III bərabərliyi belə yaza bilərik

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} = \overrightarrow{(x_1+x_2; y_1+y_2)} \cdot \overrightarrow{(x_3;y_3)} =x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3 = \\ =(x_1x_3+y_1y_3)+(x_2x_3+y_2y_3) = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

IV bərabərliyi isbat etmək üçün vektorun ədədə hasilinin koordinatları düsturundan istifadə edək

$(k\vec{a})\cdot \vec{b} = \overrightarrow{(kx_1;ky_1)} \cdot \overrightarrow{(x_2;y_2)}=\\ =kx_1x_2+ky_1y_2 = k(x_1x_2+y_1y_2) = k(\vec{a}\cdot \vec{b})$

Digər məqalələr