Yaranma tarixi: 13 Dekabr, 2017

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Üçbucaqların həlli məsələlərinin hamısında tərəfləri $a$, $b$, $c$, qarşı bucaqları isə uyğun olaraq $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ilə işarə edəcəyik.

I məsələ: İki tərəf və arasındakı bucaq vasitəsilə üçbucağın həlli.

Tutaq ki, üçbucağın $a$, $b$ tərəfləri və bunlar arasında qalan $\gamma$ bucağı verilib. $c$ tərəfi, $\alpha$ və $\beta$ bucaqlarını tapmalıyıq.

1. Kosinuslar teoreminə görə $$c = \sqrt{a^2+b^2-2ab \ cos \gamma}$$
2. $c$ tərəfi tapılandan sonra $\angle \alpha$ Sinuslar teoreminə görə belə tapılır $$\dfrac{a}{sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow sin \alpha = \dfrac{a \ sin \gamma}{c}$$
3. $\angle \alpha$ tapılandan sonra $$\angle \beta = 180° -\angle \alpha -\angle \beta$$

Əgər verilən bucaq $a$ və $b$ tərəfləri arasında olmasa, birbaşa Sinuslar teoreminin köməyi ilə digər bucağı tapa bilərik. Yəni, 1 bəndini ötürüb birbaşa 2 bədinə keçə bilərik. Sonra isə $a$ və $b$ arasındakı bucağı yenə 3-cü bəndin köməyi ilə taparıq. Üç bucaq və iki tərəfi bilərək $c$ tərəfini yenə Sinuslar teoreminə görə taparıq.

Nəticə: Üçbucağın istənilən iki tərəfi və bir bucağı vasitəsilə qalan tərəf və bucaqları tapmaq mümkündür.

II məsələ: Bir tərəf və ona bitişik iki bucağa görə üçbucağın həlli

Tutaq ki, $a$ tərəfi, $\gamma$ və $\beta$ bucaqları verilib. $b$, $c$ tərəflərini və $\alpha$ bucağını tapmalıyıq.

1. $\angle \alpha = 180° - \angle \beta -\angle \gamma$
2. Sinuslar teoreminə görə $$b = \dfrac{a\ sin\beta}{sin \alpha}; \ c= \dfrac{a \ sin \gamma}{sin \alpha}$$

Verilmiş bucaqlardan biri $a$ tərəfi qarşısında olsa belə eyni qayda ilə (1-ci bənd) üçüncü bucaq tapılacaq.

Nəticə: Üçbucağın istənilən tərəfi və iki bucağı verilərsə qalan tərəf və bucaqları tapmaq mümkündür.

III məsələ: Üç tərəfi məlum olan üçbucağın həlli

Tutaq ki, $a$, $b$ və $c$ tərəfləri verilib. $\alpha$, $\beta$ və $\gamma$ bucaqları tapılmalıdır.

1. Kosinuslar teoreminə görə $\angle \alpha$ belə tapılır $$cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
2. Eynilə $\beta$ bucağı tapılır $$cos \beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$
3. $\angle \alpha$ və $\angle \beta$ məlum olduqdan sonra $\angle \gamma$ asanlıqla tapılacaq

$$\angle \gamma = 180° - \angle \alpha -\angle \beta$$

Bununla da üçbucağı, verilmiş istənilən üç komponentin köməyilə həll etmək mümkün olduğunu göstərdik.

Digər məqalələr

Üçbucaq

Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Kosinuslar teoremi

Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.