Дата создания: 27 Сентябрь, 2019

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Вычислите предел следующей последовательности:

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Решение

Каждый член этой последовательности представим в виде суммы следующим образом:

$x_1 = \dfrac{1}{2}\\[10pt]
x_2 = \dfrac{2}{2^2} = \dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2} \\[10pt]
x_3 = \dfrac{3}{2^3} = \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^3}\\[10pt]
... \\
x_k=\dfrac{k}{2^k} = \dfrac{1}{2^k}+ \dfrac{1}{2^k} + ... +\dfrac{1}{2^k}$

Итак $k$-й член можно представить в виде суммы $k$ слагаемых $\dfrac{1}{2^k}$. Тогда наша последовательность примет следующий вид:

Если брать каждый первый член из каждой суммы, то получим сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии.

$S_n = \dfrac{1}{2^1} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3}+ ... + \dfrac{1}{2^n}$

Применив формулу $S=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ и учитывая, что у нас $b_1=q=\dfrac{1}{2}$, получаем следующее представление:.

$S_n = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{\dfrac{1}{2}} = \\[15pt] =1-\dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1}{2^0}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)$

Таким же образом, взяв каждый второй член нашей последовательности $(*)$ получим сумму первых $n-1$ членов геометрической прогрессии:

$S_{n-1} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4}+ ... + \dfrac{1}{2^n} = \\[10pt]
=\dfrac{\dfrac{1}{2^2}\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2^1}\left(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)$

Тогда, для случая $k$ получим:

$S_{n-k} = \dfrac{1}{2^k}\left(1-\dfrac{1}{2^{n-k}}\right) = \dfrac{1}{2^k} - \dfrac{1}{2^n}$

Итак, наша сумма $(*)$ примет вид:

$$\sum_{k=1}^{n}x_k = \sum_{k=0}^{n-1}S_{n-k} = \sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{1}{2^k} - \dfrac{1}{2^n}\right)$$

Вычислим предел этой суммы:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac{1}{2^k} - \dfrac{1}{2^n}\right) = \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2^k}$

так как предел $\dfrac{1}{2^n} \rightarrow 0$.

Тогда, эще раз применив формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, получим:

$$\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1 \cdot \left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{\dfrac{1}{2}} =\\[15pt]= 2- \dfrac{2}{2^n} = 2-\dfrac{1}{2^{n-1}}$$

Таким образом, задача решена

$$ \lim_{n \to \infty}\left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right) = 2$$

Читайте также

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$