Дата создания: 27 Октябрь, 2019

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$:
а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?
Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последовательности $\{ n \}$, $\left\{ \dfrac{n-1}{n}\right\}$, $\left\{ \dfrac{1}{n}\right\}$, $\left\{ \dfrac{(-1)^n}{n}\right\}$, $\left\{ \dfrac{1}{n^2}\right\}$.

Решение

а) последовательность $\{ x_n y_n \}$ может сходиться. Примером могут быть последовательности $x_n= \dfrac{1}{n}$ и $y_n = n$. Тут $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}=0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} n=\infty$. Тогда

$\lim \limits_{n \to \infty} x_n y_n = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \cdot n = 1$

б) $\{ x_n y_n \}$ может расходиться, но быть ограниченной. Рассмотрим этот пример:

$x_n= \dfrac{(-1)^n}{n}; \ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n} = 0 \\[15pt]
y_n = n; \ \lim \limits_{n \to \infty} n = \infty \\
x_n y_n = (-1)^n$

При четных значениях $n$ элементы этой последовательности равны $1$, а при нечетных значениях $n$ элементы этой последовательности равны $-1$. Она не сходится. Но она ограничена единицей. $\forall n \ \ |x_n y_n | \leq 1$.

в) $\{ x_n y_n \}$ может быть бесконечно большой:

$x_n = \dfrac{n-1}{n}; \ \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n-1}{n} = 1 \\[15pt]
y_n = n; \ \lim \limits_{n \to \infty} n = \infty\\
\lim \limits_{n \to \infty}x_ny_n = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n-1}{n} \cdot n = \lim \limits_{n \to \infty} (n-1) = \infty$

Эта последовательность является бесконечно большой.

г) $\{ x_n y_n \}$ может быть бесконечно малой:

$x_n = \dfrac{1}{n^2}; \ \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^2} = 0 \\[15pt]
y_n = n; \ \lim \limits_{n \to \infty} n = \infty\\
\lim \limits_{n \to \infty}x_ny_n = \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{n}{n^2} = \lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}=0$

Читайте также

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$