Дата создания: 12 Октябрь, 2019

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Решение

1) Сначала допустим, что последовательность сходится к своей точной нижней грани, $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=m$. Тогда $\forall \epsilon >0 \ \ \exists N \in \mathbb{N}$, что $\forall n>N: \ |x_n-a|<\epsilon$.

Значит мы можем выбирать $\epsilon$ таким, что $M$ не окажется в $\epsilon$ окрестности значения $m$. Это значит, что $M>m+\epsilon$.

Вспомним геометрическое определение предела. По этому определению в любой $\epsilon$ окрестности точки $m$ находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. А вне этой окрестности находится конечное количество членов последовательности.

Так как $M=\sup\{x_n\}$, что значит $M$ является точной верхней гранью последовательности, то среди конечного количества членов последовательности оставшихся за пределом $\epsilon$ окрестности точки $m$, есть значение, которое равно $M$. Иначе можно было бы найти максимальное значение среди этого конечного количества членов, которое меньше $M$.

Примером такой последовательности может быть $\left \{\dfrac{1}{n}\right \}$. $M=1, m=0$. Эта последовательность получает значение своей верхней грани при $n=1$.

2) Если последовательность $\{x_n\}$ сходится к своей верхней грани, $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=M$, тогда те же рассуждения можно вести относительно точной нижней грани и доказать,что последовательность содержит значение своей нижней грани. $\exists k$ такое, что $x_k=m$.

Примером может быть последовательность $\left\{-\dfrac{1}{n}\right\}$. $M=0, m=-1$. Эта последовательность получает значение своей нижней грани при $n=1$.

3) Теперь допустим, что последовательность $\{x_n\}$ сходится, но не сходится к своей нижней, или верхней грани, а сходится к какому-то числу $a$. Тогда, выбираем такой $\epsilon>0$, что $M$ и $n$ окажутся за пределами $\epsilon$ окрестности числа $a$, $m<a-\epsilon<a<a+\epsilon<M$.

Это значит, что последовательность $\{x_n\}$ имеет значение, равное $m$ и $M$ среди конечного числа элементов, за пределами $[a-\epsilon,a+\epsilon]$, потому что эти числа являются точной нижней и верхней гранью последовательности соответственно.

В качестве примера можно взять последовательность $\left\{ \dfrac{\sin \frac{n \pi}{2}}{n} \right\}$.

При $n=1$, $\sin \dfrac{\pi}{2}=1=\sup\{x_n\}=M$

При $n=3$, $\dfrac{\sin \frac{3 \pi}{2}}{3} = - \dfrac{1}{3} = \inf\{x_n\}=m$

А пределом этой последовательности является $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin \frac{n\pi}{2}}{n}=0$.

Читайте также

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$