Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Задача 1.б

$x_n = 2n$

Решение

Эта последовательность неограничена. Доказательство опять следует из определения. Нам нужно показать, что $\forall M>0 \quad \exists n: \quad |x_n|>M$. В нашем случае нужно показать, что $\forall M>0 \quad \exists n: \quad 2n>M$. Отсюда находим, что при $n>\dfrac{M}{2}$ всегда $x_n>M$.

Задача 1.в

$x_n = \ln n$

Решение

Эта последовательность тоже неограничена. При любом $M$, можно показать, что есть такое $n$, при котором $|\ln n|>M$.

$|\ln n| = \ln n >M \Rightarrow n>e^M$

Задача 1.г

$x_n = \sin n$

Решение

Знаем, что значение функции $\sin n$ ограничено между $-1$ и $1$. Значит $\forall n: \quad |\sin n| \leqslant 1$.

Задача 1.д

$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $

Решение

В этой последовательности каждый нечетный член растет с увеличением индекса $n$. Четные члены последовательности всегда равны нулю. Эту последовательность можно выразить следующим образом.

$x_n = \begin{cases} 1+\left[\dfrac{n}{2}\right], & n=2k+1 \\ 0, & n=2k \end{cases}$

Верхня часть этой последовательности неограничена. Для доказательства решим следующее уравнение, подставляя вместо $n$ значение $2k+1$.

$1+\left[\dfrac{n}{2}\right] = 1+\left[\dfrac{2k+1}{2}\right]=\\
=1+k >M \Rightarrow k>M-1$

Подставив значение $k=M$, можно получить значение для $n$.

$n=2k+1=2M+1$

Тогда можно убедиться, что

$\forall M \quad 1+\left[\dfrac{2M+1}{2}\right]=1+M>M$

Значит эта последовательность неограничена.

Читайте также

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$