Дата создания:
Глава I. Задачи 30, 31, 34 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Бутузов математическая индукция
Применяя метод математической индукции, докажите справедливость следующих неравенств.
Задача 30
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$
Решение
Для $n=1$ справедливо неравенство:
$\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{\sqrt{2+1}}=\dfrac{1}{3}$
Для $n=k$ допустим справедливость неравенства:
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k} < \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$
Докажем справедливость для $n=k+1$.
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k}\cdot \dfrac{2(k+1)-1}{2(k+1)} < \dfrac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k}\cdot \dfrac{2(k+1)-1}{2(k+1)} <\\[15pt]
<
\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \dfrac{2k+1}{2k+2}=\dfrac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}=\\[15pt]
=
\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{(2k+2)^2}}=\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+4}}<\\[15pt]
<\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+3}}$
Заметьте, что в последнем неравенстве я заменил в знаменателе слагаемое $4$ на $3$. Теперь представим знаменатель в виде произведения:
$4k^2+8k+3 = (2k+1)(2k+3)$
Подставив это произведение на место, получим:
$\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+3}} = \dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{(2k+1)(2k+3)}} = \dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$
Что и требовалось доказать.
Задача 31
$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt n} >\sqrt n \quad (n \geqslant 2)$
Решение
Для $n=2$ справедливо:
$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}>1+\dfrac{1}{2}=1,5>\sqrt{2}$
Допустим для $n=k$:
$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt k} >\sqrt k$
Докажем для $n=k+1$:
$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}}>\\[15pt]
> \sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}= \dfrac{\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}>\dfrac{k+1}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}$
Задача 34
$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_n \leqslant 0,5(1+\sqrt{4a+1}) \quad \forall a>0$
Решение
Для $n=1$ справедливость неравенства легко доказывается:
$\sqrt{a} \leqslant 0,5+\sqrt a = 0,5(1+2\sqrt a) < 0,5(1+\sqrt{4a+1})$
Допустим для $n=k$:
$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_k \leqslant 0,5(1+\sqrt{4a+1})$
Докажем для $n=k+1$:
$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_{k+1} \leqslant \sqrt{a+0,5(1+\sqrt{4a+1})}$
Так как оба выражения положительные, мы можем возводить обе части этого неравенства в квадрат не изменяя знак неравенства.
$a+\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_k \leqslant a+0,5(1+\sqrt{4a+1})$
Упразднив $a$ получим неравенство для случая $k$, что и принимали за правильное.
Читайте также
Глава I. Задачи 27, 28, 29 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Применяя метод математической индукции, докажите, что $\forall n \in \mathbb{N}$ справедливо равенство $1^2+2^2+3^2+ ... +n^2 = \dfrac{1}{6} n (n+1)(2n+1)$
© Все права защищены
Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.