Дата создания: 05 Октябрь, 2019

Глава I. Задачи 30, 31, 34 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Бутузов математическая индукция

 

Применяя метод математической индукции, докажите справедливость следующих неравенств.

Задача 30

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Решение

Для $n=1$ справедливо неравенство:

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{\sqrt{2+1}}=\dfrac{1}{3}$

Для $n=k$ допустим справедливость неравенства:

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k} < \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}$

Докажем справедливость для $n=k+1$.

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k}\cdot \dfrac{2(k+1)-1}{2(k+1)} < \dfrac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$

$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2k-1}{2k}\cdot \dfrac{2(k+1)-1}{2(k+1)} <\\[15pt]
< \dfrac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \dfrac{2k+1}{2k+2}=\dfrac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}=\\[15pt]
= \dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{(2k+2)^2}}=\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+4}}<\\[15pt]
<\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+3}}$

Заметьте, что в последнем неравенстве я заменил в знаменателе слагаемое $4$ на $3$. Теперь представим знаменатель в виде произведения:

$4k^2+8k+3 = (2k+1)(2k+3)$

Подставив это произведение на место, получим:

$\dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{4k^2+8k+3}} = \dfrac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{(2k+1)(2k+3)}} = \dfrac{1}{\sqrt{2k+3}}$

Что и требовалось доказать.

Задача 31

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt n} >\sqrt n \quad (n \geqslant 2)$

Решение

Для $n=2$ справедливо:

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}>1+\dfrac{1}{2}=1,5>\sqrt{2}$

Допустим для $n=k$:

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt k} >\sqrt k$

Докажем для $n=k+1$:

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3} + \ ... \ +\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}}>\\[15pt]
> \sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}= \dfrac{\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}>\dfrac{k+1}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}$

Задача 34

$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_n \leqslant 0,5(1+\sqrt{4a+1}) \quad \forall a>0$

Решение

Для $n=1$ справедливость неравенства легко доказывается:

$\sqrt{a} \leqslant 0,5+\sqrt a = 0,5(1+2\sqrt a) < 0,5(1+\sqrt{4a+1})$

Допустим для $n=k$:

$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_k \leqslant 0,5(1+\sqrt{4a+1})$

Докажем для $n=k+1$:

$\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_{k+1} \leqslant \sqrt{a+0,5(1+\sqrt{4a+1})}$

Так как оба выражения положительные, мы можем возводить обе части этого неравенства в квадрат не изменяя знак неравенства.

$a+\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+ \ ... \ \sqrt{a}}}}_k \leqslant a+0,5(1+\sqrt{4a+1})$

Упразднив $a$ получим неравенство для случая $k$, что и принимали за правильное.

Читайте также