Yaranma tarixi: 01 Aprel, 2019

Ədədin qüvvəti

ədədlər qüvvət

 

Əgər ədədi özü-özünə dəfələrlə vururuqsa bunu işarə etmək üçün daha qısa yazılış növü var. Belə ki, $5$ ədədini $4$ dəfə özü-özünə vurmaq üçün $5^4$ yazılışı var.

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

Bu zaman $5$ ədədi əsas, $4$ isə qüvvət üstüdür.

Ümumi şəkildə $p$ ədədinin $k$-cı qüvvəti $p^k$ kimi göstərilir. Burada $p$ əsas, $k$ isə qüvvət üstüdür. Aşağıdakı mülahizələrdə bəzi yerlərdə “qüvvət üstü” əvəzinə “qüvvət dərəcəsi” terminini işlədəcəyik.

$p$ ədədinin $1$-ci dərəcədən qüvvəti elə $p$ ədədidir.

$p^1 = p$

Məsələn, $5^1=5$

Asanlıqla görmək olar ki, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

$2^2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = (2 \cdot 3)^2 \\
5^1 \cdot 6^1 = 5 \cdot 6 = (5 \cdot 6)^1$

Bu bərabərlikləri davan etdirsək qüvvət üçün aşağıdakı xassəni alarıq.

Xassə 1: Müxtəlif ədədlərin eyni üstlü qüvvəti hasili, həmin hasilin eyni dərəcədən qüvvətinə bərabərdir.

$p^n \cdot q^n = (p \cdot q)^n$

Həmçinin qüvvətin belə bir xassəsi də var.

$5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5 = 5^{2+3} \\
5 \cdot 5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 5^{1+2}$

Bu bərabərliklər bizə aşağıdakı xassəni verir.

Xassə 2: Eyni əsasdan olan qüvvətlərin hasili, əsası həmin olub, üstü isə üstlərin cəminə bərabər olan ədədə bərabərdir.

$p^n \cdot p^m = p^{n+m}$

Nəhayət aşağıdakı bərabərliklərə nəzər salaq.

$(7^3)^2 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^6=7^{3 \cdot 2}$
$(2^4)^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8 = 2^{4 \cdot 2}$

Bunu da ümumiləşdirərək aşağıdakı xassələri alarıq.

Xassə 3: Ədədin qüvvətinin qüvvəti həmin ədədin bu üstlərin hasilinə bərabər dərəcədən qüvvətidir.

$(p^m)^n = p^{m \cdot n}$

$0$ ədədinin istənilən ədədə, o cümlədən özünə hasili həmişə $0$ olur. Ona görə

$0^n = 0, \ n>0$

Əgər $m$ və $n$ natural ədədlərdirsə və m>n olarsa, istənilən $d$ ədədi üçün aşağıdakı xassə doğrudur.

Xassə 4: Eyni əsaslı müxtəlif üstlü qüvvətlərin nisbəti həmin əsasdan bu üstlərin fərqinin qüvvətinə bərabərdir.

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Bunu isbat etmək üçün $a^{m-n} \cdot a^n = a^{m-n+n} = a^m$ olduğunu göstərmək kifayətdir.

Bu vaxta qədər yalnız natural qüvvətlərə baxdıq. İndi təsəvvür edin ki, qüvvət kimi $0$ verilib. $a^0$ nə olduğunu tapaq.

$2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2$

Bəs aşağıdakı ifadə nə deməkdir?

$5^4:5^4 = 5^{4-4}=5^0$

Aydındır ki, $5^4:5^4$ həmişə $1$-ə bərabərdir. Deməli, $5^0=1$. Amma məntiqə görə $a^0$ dedikdə $a$ ədədini özünə $0$ dəfə vurmalıyıq . Bu isə mümkün deyil. Digər tərəfdən

$a^n \cdot a^0 = a^{n+0} = a^n \Rightarrow a^n : a^n = 1 \ (a \neq 0)$

Ona görə $a^0 = 1$ qəbul etmək bizə rahatdır. $a=0$ olarsa $0^0$ riyazi nöqteyi-nəzərdən məna kəsb etmir.

Qüvvətin sonuncu rəqəmi

$2^n$ ədədinin $n$ dəyişərkən sonuncu rəqəminin dəyişməsinə baxaq.

$2^1 = 2, \ 2^2 =4, \ 2^3 = 8, \ 2^4 = 16, \\
2^5 = 32, \ 2^6=64, \ 2^7=128, \ 2^8=256 \\
2^9=512, \ 2^{10}=1024, \ 2^{11}=2048, \ 2^{12}=4096$

Görünür ki, $n$ artdıqca hər 4 addımdan bir sonuncu rəqəm təkrar olunur. Onda $2^{100}$ ədədinin sonuncu rəqəmini tapmaq çətin deyil. Görürük ki, yuxarıdakı ardıcıllığı davam etdirsək $100$ ədədi $4$-ə bölündüyü üçün bu ədəd $2^4$, $2^8$, $2^{12}$ kimi olacaq, yəni son rəqəmi $6$ olacaq.

Ümumiləşdirərək qüvvət dərəcəsini $4$-ə bölünməsinə görə dörd qrupa ayırmaq olar:

• $4$-ə tam bölünənlər,
• $4$-ə bölünərkən qalıqda $1$  qalanlar,
• $4$-ə bölünərkən qalıqda $2$  qalanlar,
• $4$-ə bölünərkən qalıqda $3$  qalanlar.

Onda $2^{201}$ ədədinin üstünü, yəni $201$-i $4$-ə bölsək qalıqda $1$ qaldığı üçün bu ədədin qüvvətinin son rəqəmi $2$ olacaq.

Qeyd: Məqalədə aşağıdakı mənbələrdən istifadə olunub:
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин Алгебра 7 класс
А.Г. Мордкович Алгебра 7 класс
Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева Алгебра 7 класс

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr