Yaranma tarixi: 22 Mart, 2018

Dezarq teoremi

üçbucaq Menelay Fales

 

Jirar Dezarq (1591-1661) proyektiv həndəsənin özülünü qoyanlardandır. Bu fransız riyaziyyatçısı həm də memar və hərbi mühəndis olmuşdur.

Teorem: Əgər $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-in təpə nöqtələrini birləşdirərkən $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ düz xətləri bir nöqtədə kəsişərsə və ya üçü də paralel olarsa, onsa $AB$ ilə $A_1B_1$, $BC$ ilə $B_1C_1$, $AC$ ilə $A_1C_1$ düz xətləri kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

İsbatı: Teoremdə belə bir şərt qoyulur ki, əgər tərəflərin uzantıları kəsişərsə bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərində olacaq. Doğrudan da, əgər üçbucaqların tərəfləri paralel olarsa onların uzantıları kəsişməyəcək.

Teoremin isbatını iki hal üçün aparmalıyıq. Əvvəlcə tutaq ki, $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ düz xətləri hər hansı $S$ nöqtəsində kəsişir. Tərəflərin uzantılarının kəsişmə nöqtələrini belə işarə edək.

$$AB \cap A_1B_1 = P\\
BC \cap B_1C_1 = Q\\
CA \cap C_1A_1 = R$$

$\triangle SAB$ və $A_1B_1$ xəttinə Menelay teoremini tətbiq etsək

$$\dfrac{SA_1}{A_1A} \cdot \dfrac{AP}{PB} \cdot \dfrac{BB_1}{B_1S} = 1$$

Eyni teoremi $\triangle SBC$-yə və $B_1C_1$ düz xəttinə tətbiq etsək

$$\dfrac{SB_1}{B_1B} \cdot \dfrac{BQ}{QC} \cdot \dfrac{CC_1}{C_1S} = 1$$

$\triangle SCA$ və $C_1A_1$ xəttinə də  həmin teoremin tətbiq edib aşağıdakı bərabərliyi alarıq.

$$\dfrac{SC_1}{C_1C} \cdot \dfrac{CR}{RA} \cdot \dfrac{AA_1}{A_1S} = 1$$

Bu üç bərabərliyi tərəf-tərəfə vursaq belə bir bərabərlik alarıq.

$$\left(\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RA}\right) \cdot \left( \frac{SA_1}{A_1A} \cdot \frac{AA_1}{A_1S} \right) \times \\
\times \left(\frac{SB_1}{B_1B} \cdot \frac{BB_1}{B_1S}\right) \cdot \left(\frac{SC_1}{C_1C} \cdot \frac{CC_1}{C_1S}\right)=1$$

Birinci mötərizədən başqa yerdə qalanların hamısı ixtisar olunur.

$$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RA}=1$$

Onda, Tərs Menelay teoreminə görə $P$, $Q$ və $R$ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

İndi isə tutaq ki, $AA_1 || BB_1 || CC_1$. $AB$ ilə $A_1B_1$ və $BC$ ilə $B_1C_1$ tərəflərinin uzantılarının kəsişmə nöqtələrini və bu kəsişmə nöqtələrindən keçən düz xəttin üçüncü $AC$ və $A_1C_1$ tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələrini aşağıdakı kimi işarə edək.

$$AB \cap A_1B_1 = P\\
BC \cap B_1C_1 = Q\\
PQ \cap AC = R\\
PQ \cap A_1C_1=R_1$$

Göstərməliyik ki, $R$ və $R_1$ nöqtələri üst-üstə düşür.

$\triangle BPQ$ və $AC$ düz xəttinə baxsaq Menelay teoreminə görə

$$\frac{BA}{AP} \cdot \frac{PR}{RQ} \cdot \frac{QC}{CB}=1$$

Eynilə $\triangle B_1PQ$ və $A_1C_1$ düz xətti  üçün

$$\frac{B_1A_1}{A_1P} \cdot \frac{PR_1}{R_1Q} \cdot \frac{QC_1}{C_1B_1} = 1$$

Xətlərin paralelliyindən Fales teoreminə görə

$\dfrac{BA}{AP} = \dfrac {B_1A_1} {A_1P}$ və $\dfrac{QC}{CB}=\dfrac{QC_1}{C_1B_1}$

Onda bu iki nisbətin bərabərliyini nəzər alaraq yuxarıdakı iki münasibətdən aşağıdakı nəticəyə gəlirik.

$$\frac{PR}{RQ}=\frac{PR_1}{R_1Q}$$

Yəni $R$ və $R_1$ eyni nöqtələrdir. Bunanla da Dezarq teoremi bütünlüklə isbat olundu

Şəkil 1-ə baxsaq görərik ki, orada 10 nöqtə və 10 düz xətt var və hər bir düz xətt üzərində 3 nöqtə yerləşir. Hər bir nöqtədən isə 3 düz xətt keçir. Bu cür fiqura Dezarq konfiqurasiyası deyilir. $S$ nöqtəsinə dezarq nöqtəsi, $PQR$ xəttinə isə $ABC$ və $A_1B_1C_1$ üçbucaqları üçün dezarq xətti deyilir.

 

Digər məqalələr