Yaranma tarixi: 26 Yanvar, 2018

Vektorun ədədə vurulması

Burada biz vektorla ədədin hasilindən danışacağıq. Tərif verməzdən əvvəl bir misal çəkək. Tutaq ki, bir avtomobil $\vec{v}$ sürəti ilə xətti hərəkət edir. Digəri isə eyni istiqamətdə ondan iki dəfə sürətlə hərəkət edir. Üçüncü avtomobil də birincidən iki dəfə sürətlə, lakin bu iki avtomobilin əksinə hərəkət edir. Bu deyilənləri vektorlar vasitəsilə Şəkil 1-dəki kimi ifadə etmək olar.

Şəkil 1

Görünür ki, ikinci vektorun uzunluğu birincidən iki dəfə çoxdur. Üçüncü vektor isə ikinci ilə eyni uzunluğa malik olsa da onunla əks istiqamətlidir.  Deməli, ikinci vektoru almaq üçün birinci vektoru ($\vec{v}$ vektorunu) $2$-yə, üçüncü vektoru almaq üçün isə həmin vektoru $-2$-yə vurmaq lazımdır. Indi vektorun ədədə hasilinin tərifini verək.

Sıfırdan fərqli olan $\vec{a}$ vektorunun $k$ ədədinə hasili elə $\vec{b}$ vektoruna deyilir ki, onun uzunluğu $|k||\vec{a}|$ olsun. $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorları $k\geqslant 0$ olarsa eyni istiqamətli, $k< 0$ olarsa əks istiqamətli olacaq. Bu hasili $k\vec{a}$ ilə işarə edəcəyik.

Tərifdən görünür ki, vektorun ədədə hasili aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

1. $\vec{0}$ vektorunun istənilən ədədə hasili $\vec{0}$ vektorudur
2. istənilən vektorun sıfıra hasili $\vec{0}$ vektorudur
3. istənilən $\vec{a}$ vektoru və $k$ ədədi üçün
   $\vec{a}$ və $k\vec{a}$ kollineardır
   $\vec{a}k=k\vec{a}$ – kommutativlik (yerdəyişmə) qanunu doğrudur
4. istənilən $\vec{a}$ vektoru, $k$ və $l$ ədədləri üçün
   $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ – assosiativlik (qruplaşdırma) qanunu doğrudur
   $(k+l)\vec{a} = k\vec{a}+l\vec{a}$ – I distributivlik (paylama) qanunu doğrudur
   istənilən $\vec{a}$, $\vec{b}$ vektorları və $k$ ədədi üçün
   $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$ – II distributivlik (paylama) qanunu doğrudur

Birinci üç xassə tərifdən alınır. Dördüncü xassəni isə şəkillərlə izah edək.

Şəkil 2

Şəkil 2-də $k=2$, $l=3$ halı göstərilib. $\overrightarrow{OB} = 2 \overrightarrow{OA} = 2 \cdot (3 \vec{a})$. Digər tərəfdən $\overrightarrow{OB} = 6 \vec{a} = 2\cdot 3 \vec{a}$. Assosiativlik qanununu göstərdik.

Şəkil 3

Şəkil 3-ə baxsaq $\overrightarrow{OB} = 5\vec{a}$. Digər tərəfdən $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} = 2\vec{a}+3\vec{a}$. Bu iki bərabərlik bizə I paylama qanununu verir.

Şəkil 4

İndi ikinci distributivlik qanununu isbat edək. Şəkil 4-də göstərilən $\triangle OA_1B_1$ və $\triangle OAB$ oxşardır. Bu üçbucaqların oxşarlıq əmsalı $k$-dır. Ona görə

$\overrightarrow{OA}=k\vec{a}$, $\overrightarrow{AB} = k\vec{b}$, $\overrightarrow{OB} = k(\vec{a}+\vec{b})$.

Digər tərəfdən vektorların toplanmasının üçbucaq qaydasına görə

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} = k\vec{a}+k\vec{b}$

Beləliklə,

$k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$

Bu deyilənlər bizə vektorlar üzərində toplama, çıxma və vektorun ədədə vurulması əməllərinə, ədədlər üzərində olan əməllər kimi baxmağa imkan verir.

Digər məqalələr

Vektor nədir?

Başlanğıcı və sonu olan istiqamətlənmiş düz xətt parçasına vektor deyilir. Əgər iki vektor perpendikulyar düz xətlər üzərində yerləşibsə onlara ortoqonal, bir düz xətt və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşibsə, onlara kollinear vektorlar deyilir.

Vektorların çıxılması

İki vektorun fərqi elə bir vektordur ki, onun üzərinə çıxılan vektoru gəlsək azalan vektoru alarıq. İstənilən a və b vektoru üçün a-b=a+(-b) bərabərliyi doğrudur.

Vektorların toplanması

İki vektoru üçbucaq və paraleloqram qaydası ilə toplamaq olar. İstənilən a, b, və c vektoru üçün a+b=b+a kommutativlik və (a+b)+c=a+(b+c) assosiativlik qaydaları doğrudur.

Vektorların skalyar hasili

İki vektorun skalyar hasili onların uzunluğu ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. Həmçinin iki vektorun skalyar hasili onların uyğun koordinatlarının hasili cəminə bərabərdir.

Vektorun koordinatları

Bərabər vektorların uyğun koordinatları bərabərdir. Uyğun koordinatları bərabər olan vektorlar bərabərdir. İki və daha çox vektorun cəminin koordinatları onların uyğun koordinatları cəminə bərabərdir. Vektorun ədədə hasilinin hər bir koordinatı, uyğun koordinatın həmin ədədə hasilinə bərabərdir.

Vektorun iki kollinear olmayan vektora ayrılışı

Əgər a və b vektorları kollineardırsa və a vektoru b-dən fərqlidirsə, onda elə k ədədi var ki, b=ka. Müstəvidə verilmiş istənilən vektoru kollinear olmayan iki vektorun ayrılışı şəklində göstərmək olar və bu ayrılış yeganədir.