Yaranma tarixi: 14 Yanvar, 2018

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi

Teorem: $ABC$ üçbucağının daxilində $O$ nöqtəsində kəsişən üç $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ çevianları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{CO}{OC_1} = \dfrac {CA_1}{A_1B}+ \dfrac{CB_1}{B_1A}$

İsbatı: $C$ təpəsindən üçbucağın $AB$ tərəfinə paralel xətt çəkək və bu düz xəttin $BB_1$ və $CC_1$ çevianları ilə kəsişmə nöqtələrini uyğun olaraq $E$ və $F$ ilə işarə edək.

$\triangle CFO \sim \triangle C_1AO$, çünki bu üçbucaqların $EF$ və $AB$ paralel düz xətlərinin $AF$ xətti ilə kəsişmədə əmələ gətirdiyi $\angle CFO$ və $\angle C_1AO$ çarpaz bucaqları bərabərdir, həmin paralel düz xətlərin $CC_1$ xətti ilə kəsişmədə əmələ gətirdiyi $\angle FCO$ və $\angle AC_1O$ çarpaz bucaqları bərabərdir. Ona görə bu üçbucaqlar iki bucağa görə oxşardırlar. Bu oxşarlıqdan aşağıdakı münasibət alınır.

$\dfrac {CO}{OC_1} = \dfrac{CF}{AC_1} \Rightarrow CF = \dfrac {CO \cdot AC_1}{OC_1}$

$\triangle CFA_1$ və $\triangle BAA_1$ də həmçinin üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə oxşardırlar. Bu oxşarlıq da bizə aşağıdakı münasibəti verir.

$\dfrac {CF}{AB}=\dfrac {CA_1}{A_1B} \Rightarrow CF=\dfrac {CA_1 \cdot AB}{A_1B}$

Bu iki bərabərliyin hər ikisinin sol tərəfi eyni olduğu üçün sağ tərəfləri də eynidir.

$\dfrac  {CO \cdot AC_1}{OC_1} = \dfrac {CA_1 \cdot AB}{A_1B}$

Eyni qayda ilə $\triangle ECO \sim \triangle BC_1O$ və $\triangle ECB_1 \sim \triangle BAB_1$ olduğu üçün aşağıdakı münasibətlər də doğrudur.

$\dfrac {CO}{OC_1} = \dfrac {EC}{C_1B} \Rightarrow EC = \dfrac {CO \cdot C_1B}{OC_1}$

$\dfrac {EC}{AB} = \dfrac {CB_1}{B_1A} \Rightarrow EC = \dfrac {CB_1 \cdot AB}{B_1A}$

Bu iki bərabərliyin də hər ikisinin sol tərəfi eyni olduğu üçün sağ tərəfləri də eynidir.

$\dfrac {CO \cdot C_1B}{OC_1} = \dfrac {CB_1 \cdot AB}{B_1A}$

$(1)$ və $(2)$ bərabərliklərini toplayaq.

$\dfrac {CO}{OC_1} (AC_1+C_1B) = \left(\dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A} \right)AB$

Şəklə baxsaq görərik ki, $AC_1+C_1B = AB$

$\dfrac {CO}{OC_1} AB = \left(\dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A}\right) AB \Rightarrow \dfrac {CO}{OC_1}  = \dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A}$

Bununla da Van-Obel teoremi isbat olundu.

Digər məqalələr

Apolloniy teoremi

Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Çeva teoremi

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Qauss teoremi

Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Napoleon teoremi

Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Papp teoremi

Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi

İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.