Yaranma tarixi: 09 İyun, 2017

Tək və cüt funksiyalar

Tək funksiya elə funksiyadır ki, arqumentin işarəsi dəyişərkən funksiyanın qiyməti də eyni ədədin əksinə dəyişir.

f(–x) = –f(x)

y = x funksiyası tək funksiyadır

Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur.

f(–x) = f(x)

y = |x| funksiyası cüt funksiyadır

Əgər funksiya yuxarıdakı hər iki şərti ödəyirsə, onda ona həm tək, həm cüt funksiya deyilir. f(x)=0 yeganə funksiyadır ki, hər iki şərti ödəyir.

Əgər funksiya bu şərtlərdən heç birini ödəmirsə, onda belə funksiyaya deyirlər nə təkdir, nə cüt. Bəzən belə funksiyaları ümumi funksiya da adlandırırlar.

Tək funksiyanın qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olur. Cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrik olur.

Tək və cüt funksiyaların xassələri

y = x² parabolası cüt funksiyadır

• İki tək funksiyanın cəmi və fərqi də tək funksiyadır
  f(–x)±g(–x) = –f(x)±(–g(x)) = –(f(x)±g(x))
• İki cüt funksiyanın cəmi və fərqi cüt funksiyadır
  f(–x)±g(–x) = f(x)±g(x)
• İki tək funksiyanın hasili və nisbəti cüt funksiyadır
  f(–x)∙g(–x) = (–f(x))∙(–g(x)) = f(x)∙g(x)
  f(–x)/g(–x) = (–f(x))/(–g(x)) = f(x)/g(x)
• İki cüt funksiyanın hasili və nisbəti cüt funksiyadır
  f(–x) ∙ g(–x) = f(x) ∙g(x); f(–x)/g(–x) = f(x)/g(x)
• Tək və cüt funksiyanın hasili və nisbəti təkdir. f tək, g cüt funksiyadırsa
  f(–x)∙g(–x) = (–f(x))∙g(x) = –(f(x)∙g(x))
  f(–x) /g(x) = (–f(x))/g(x) = –(f(x)/g(x))
• İki tək funksiyanın kompozisiyası təkdir. Kompozisiya bir funksiyanın nəticəsinin digər funksiyanın arqumenti kimi işlədilməsidir
  f(g(–x)) = f(–g(x)) = –f(g(x))
• İki cüt funksiyanın kompozisiyası cütdür
  f(g(–x)) = f(g(x))
• Tək və cüt funksiyanın kompozisiyası həmişə cütdür. f tək, g cüt funksiyadırsa
  f(g(–x)) = f(g(x))
  g(f(–x)) = g(–f(x)) = g(f(x))
• İstənilən funksiyanın cüt funksiya ilə kompozisiyası cütdür. Yəni daxili funksiya cütdürsə kompozisiya cüt olacaq. Xarici funksiya cüt və tək olan halda kompozisiyanın cüt olması yuxarıdakı qaydalarda göstərilib. Tutaq ki, xarici funksiya nə təkdir nə cüt. Onda f(–x) ≠ f(x) və f(–x) ≠ –f(x). Bu halda
  f(g(–x)) = f(g(x))
  bərabərliyi g funksiyasının hesabına həmişə doğrudur.

Amma sonuncu xassənin  tərsi doğru deyil. Cüt funksiyanın istənilən funksiya ilə kompozisiyası bu şərti ödəmir. g(f(–x)) ≠ g(f(x)) və g(f(–x)) ≠ –g(f(x)). Aşağıdakı misala baxın. Burada f(x) cüt funksiyadir, g(x) isə nə təkdir, nə cüt.

f(x) = x²; g(x) = x+1

f(g(x)) = (x+1)² funksiyası üçün f(g(–1)) = 0; f(g(1)) = 4

g(f(x)) = x² + 1 funksiyası üçün isə g(f(–1)) = 2; g(f(1)) = 2

Tək və cüt funksiyaya misallar

cos(x), x², |x| kimi funksiyalar cüt funksiyalardır.

|–x| = |x|; (–x)² = x²

x² və |x| funksiyaların cütlüyünü sübut etməyə ehtiyac yoxdur. cos(x) funksiyasının qrafikinə baxsaq, görərik ki, ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir. Bu isə funksiyanın cüt olması deməkdir.

sin(x), tg(x), ctg(x) isə tək funksiyalardır. sin(x) qrafikinə baxan kimi onun tək funksiya olduğu aşkar edilir. sin(x)-ın təkliyindən tg(x) və ctg(x) funksiyalarının təkliyi çıxır. Çünki hər iki funksiya tək və cüt funksiyaların (sin(x) və cos(x)) nisbətindən alınır.

f(x) = x+1 funksiyası isə nə təkdir nə cüt.

f(1) = 1+1 = 2; f(–1) = (–1) + 1 = 0; f(–x) ≠ ±f(x)

Digər məqalələr

Paralel xətlər

Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Çoxbucaqlı

Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Perpendikulyar və mail

Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.