Yaranma tarixi: 07 Mart, 2018

Stüart teoremi

Kosinuslar Stüart üçbucaq

 

Metio Stüart şotland astronomu və riyaziyyatçısı olub 1717-1785-ci illərdə yaşamışdır. Bu teoremi Stüart 1746-ci ildə Edinburqda çap etdirdiyi “Bəzi ümumi teoremlər” əsərində isbat etmişdir.

Stüart teoremi: Bir düz xətt üzərində olan $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən $B$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasındadırsa müstəvinin istənilən $M$ nöqtəsi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC = AB \cdot BC \cdot CA$

Bu teoremi üçbucağın tərəfləri vasitəsilə də verirlər. Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

$MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - AB \cdot BC \cdot CA$

İsbatı: $\triangle MAC$ verilib. $B$ nöqtəsi $AC$ tərəfi üzərində, $A$ və $C$ nöqtələri arasındadır. Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAC$-də

$MC^2=MA^2+AC^2-2MA \cdot AC \ \cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow \cos A = \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC}$

Yenə Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAB$-də

$MB^2=MA^2+AB^2-2 MA\cdot AB \ \cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  \cos A = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB}$

$(1)$ və $(2)$ bərabərliyindən aşağıdakı alınır.

$\dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC} = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{AC} = \dfrac{MA^2+AB^2-MB^2}{AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow MA^2 \cdot AB + AC^2 \cdot AB - MC^2 \cdot AB = MA^2\cdot AC+AB^2\cdot AC-MB^2\cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow -MA^2(AC-AB)+AB \cdot AC (AC-AB) = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC$

Şəklə baxsaq görərik ki, $AC-AB=BC$-dir. Bunu nəzərə alsaq,

$-MA^2 \cdot BC + AB \cdot AC \cdot BC = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC + MC^2 \cdot AB - AB\cdot BC \cdot AC$

Teorem isbat olundu.

Stüart teoremindən alınan nəticələr

Nəticə 1: Əgər $f$ mediandırsa, onda

$f^2 = \dfrac{1}{4}(2a^2+2b^2-e^2)$

İsbatı: Stüart teoremini aşağıdakı şəkildə yazaq. İşarələmələr şəkildəki kimidir. Bütün oturacaq $e$ ilə işarə edilib.

$f^2 = \dfrac{c}{e}a^2+\dfrac{d}{e}b^2-cd$

$f$ median olduğu üçün,

$c=\dfrac{e}{2}, \ d=\dfrac{e}{2} \\[15pt]
\dfrac{c}{e} = \dfrac{d}{e} = \dfrac {1}{2} \\[15pt]
cd = \dfrac{1}{4} e^2$

Onda medianın kvadratını belə ifadə etmək olar.

$f^2 = \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{e^2}{4} = \dfrac{1}{4}(2a^2+2b^2-e^2)$

Nəticə 2: Əgər $f$ tənböləndirsə, onda Stüart teoremi aşağıdakı daha sadə şəklə düşər.

$f^2=ab-cd$

İsbatı: Əvvəlcə düsturu aşağıdakı şəkildə yazaq.

$f^2 = \dfrac{1}{e} \left(ca^2+db^2\right)-cd$

Bu düsturda birinci həddi sadələşdirməyə çalışaq.

$\dfrac{1}{e}\left(ca^2+db^2\right)=\dfrac{1}{e}\left((e-d)a^2+db^2\right)= \\[15pt]
=\dfrac{1}{e}\left( ea^2+db^2-da^2)\right) = a^2+\dfrac{d}{e}(b^2-a^2)$

Tənbölənin xassəsinə görə $\dfrac{d}{c}=\dfrac{a}{b}$ olduğu üçün $d=\dfrac{ac}{b}$. Onda,

$e=c+d=c+\dfrac{ac}{b}=\dfrac{(a+b)c}{b}\Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow a+b=\dfrac{eb}{c}$

Onda,

$\dfrac{1}{e}(ca^2+db^2)=a^2+\dfrac{d}{e}(b+a)(b-a)=\\[15pt]
=a^2+\dfrac{d}{e} \cdot \dfrac{eb}{c}(b-a)=a^2+\dfrac{db}{c}(b-a)$

Yenə tənbölənin xassəsinə görə $a=\dfrac{db}{c}$. Onda,

$\dfrac{1}{e}(ca^2+db^2)=a^2+a(b-a)=ab$

Nəticədəki birinci həddi aldığımız ifadə ilə əvəzləsək Stüart teoremi $f$ tənbölən olan halda aşağıdakı şəklə düşər.

$f^2=ab-cd$

Digər məqalələr