Yaranma tarixi: 24 Dekabr, 2017

Simmetriya

Şəkil 1

Xətti simmetriya

$A$ və $A’$ nöqtələrini birləşdirən $AA’$ parçasının ortasına perpendikulyar olan $a$ xəttinə nəzərən $A$ və $A’$ nöqtələri xətti simmetrik sayılır. $a$ xətti üzərində olan istənilən nöqtə özü özünə simmetrikdir (Şəkil 1-dəki $M$ nöqtəsi kimi).

Fiqurun $a$ xəttinə nəzərən istənilən nöqtəsinə simmetrik olan nöqtə də bu fiqura aiddirsə, onda fiqur $a$ xətinə nəzərən simmetrik sayılır. Fiqurun özü xətti simmetrik, $a$ xətti isə bu fiqurun simmetriya xətti adlanır. Buna misal aşağıdakı fiqurlar ola bilər.

Şəkil 2

Bərabəryanlı üçbucağın 1 simmetriya oxu olduğu halda, bərabərtərəfli üçbucaq 3 oxa nəzərən simmetrikdir. Kvadrat həm diaqonallara, həm də orta xətlərə nəzərən simmetrikdir. Çevrənin isə sonsuz sayda simmetriya xətti var. Mərkəzdən keçən ixtiyari düz xətt onun simmetriya xəttidir.

Xətti simmetriya müstəvini özü özünə inikas edir. Bu nə deməkdir?

Təsəvvür edin ki, vərəqin ortasında düz xətt çəkib onu həmin düz xətə nəzərən qatlayırıq. Bu zaman vərəqin arasına surətçıxaran qara vərəq qoyub bir tərəfində fiqur çəksək vərəqi açarkən həmin fiqurun surətini digər tərəfdə görəcəyik. Deməli, həmişə qatladığımız xəttə nəzərən bir tərəfdəki fiqurların eynisini digər tərəfdə elə çəkə bilərik ki, onları qatlamaqla üst-üstə salmaq mümkün olsun.

Şəkil 3

Teorem: Xətti simmetriya nəticəsində müstəvi özü-özünə elə inikas olunur (köçürülür) ki, nöqtələr arasında məsafə saxlanır.

İsbatı: İxtiyarı $M$ və $N$ nöqtələri götürüb $a$ xətinə nəzərən onlara simmetrik olan $M’$  və $N’$ nöqtələrini quraq. Tutaq ki, $M$ və $N$ nöqtələri $a$-ya nəzərən eyni tərəfdədir (Şəkil 3).

Qurmaya görə $MA_1 = M’A_1$  və $PA_1 = P’A_1$. Deməli, $MP=M’P’$. $PA_1A_2N$ və $P’A_1A_2N’$ düzbucaqlıları da bərabərdir. Deməli, $PN=P’N’$. Onda $\triangle MPN = \triangle M’P’N'$. Çünki bu düzbucaqlı üçbucaqların iki kateti bərabərdir. Deməli, $MN=M’N’$.

$M$ və $N$ nöqtələrinin $a$ xəttinə nəzərən müxtəlif yarımmüstəvilərdə, bir xətt üzərində, hətta $a$ xətti üzərində  yerləşdiyi halı da asanlıqla isbat etmək olar. Ona görə bu halların isbatını oxucunun öhdəsinə buraxırıq.

Şəkil 4

Mərkəzi simmetriya

$A$ və $A’$ nöqtələrini birləşdirən $AA’$ parçasının orta nöqtəsinə nəzərən $A$ və $A’$ nöqtələri mərkəzi simmetrikdir. O nöqtəsi özü özünə simmetrikdir.

Şəkil 4-də $A$ və $A’$, $B’$ və $B’$ nöqtələri $O$ nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir. $P$ və $Q$ nöqtələri isə simmetrik deyil.

Əgər fiqurun $O$ nöqtəsinə nəzərən ixtiyari nöqtəsinə simmetrik olan nöqtə həmin fiqura aiddirsə, onda bu fiqur $O$ nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir. $O$ nöqtəsi fiqurun simmetriya mərkəzidir. Fiqur isə mərkəzi simmetrik fiqurdur. Bu cür fiqurlara misal paraleloqram və çevrə ola bilər (Şəkil 5).

Şəkil 5

Mərkəzi simmetriya da müstəvini özü-özünə əks etdirir.

Şəkil 6

Teorem: Mərkəzi simmetriya nəticəsində məsafə saxlanılır.

İsbatı: Bunu isbat etmək üçün Şəkil 6-ya baxmaq kifayətdir. $MN$ və $M’N’$ parçalarının bərabərliyi $MNO$ və $M’N’O$ üçbucaqlarının bərabərliyindən çıxır. Bu üçbucaqlarda iki tərəf qurmaya görə bərabərdir ($MO=M'O$, $NO=N'O$). $O$ təpəsindəki bucaqlar isə qarşılıqlı bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli $\triangle MNO$ və $\triangle M’N’O$ üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə bərabərdir.

Nəticə: Xətti və mərkəzi simmetriya hər ikisi hərəkətdir. Çünki bu simmetriyalar məsafəni saxlayır.

Digər məqalələr

Hərəkət nədir?

Hərəkət, elə çevirmə əməliyyatıdır ki, bunun nəticəsində məsafə saxlanılır. Başqa cür desək, hərəkət müstəvini özünə elə inikas edir ki, onun nəticəsində məsafə dəyişmir.

Oxşarlıq çevrilməsi

F fiqurunun F’ fiquruna çevrilməsi zamanı nöqtələr arasındakı məsafə eyni nisbətdə dəyişərsə bu çevrilmə oxşarlıq çevrilməsi adlanır. Homotetiya oxşarlıq çevrilməsidir.

Paralel köçürmə və dönmə

Fiqurun istənilən (x;y) nöqtəsi (x+a;y+b) nöqtəsinə keçərsə buna paralel köçürmə deyilir. Verilmiş nöqtə ətrafında dönmə zamanı bu nöqtədən çıxan hər bir şüa həmin istiqamətdə eyni bucaq qədər dönür.