Yaranma tarixi: 08 Fevral, 2018

Qauss teoremi

Teorem: Tutaq ki, verilmiş düz xətt $ABC$ üçbucağının $AC$ və $BC$ tərəflərini uyğun olaraq $B_1$ və $A_1$ nöqtələrində kəsir (şəkildə bu xətt narıncı rəngdə göstərilib). $AB$ tərəfinin uzantısını isə $C_1$ nöqtəsində kəsir. Onda $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçalarının (yaşıl rəngli parçalar) orta nöqtələri bir düz xətt zərində olacaq.

İsbatı: $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçalarının ortasını uyğun olaraq $M$, $N$ və $P$ ilə işarə edək. $AB$ parçasının ortasını $C_2$, $AC$ parçasının ortasını $B_2$, $BC$ parçasının ortasını isə $A_2$ ilə işarə edək.

$\triangle ABC$ üçün $B_2C_2$, $A_2B_2$ və $C_2A_2$ orta xətlərdir. Əvvəl $B_2C_2$ xəttinə baxaq. Bu xətt $BC$ oturacağına paraleldir. Onda $AB_2=B_2C$, $AC_2=C_2B$ və $AM=MA_1$ olduğu üçün Fales teoreminə görə $M$ nöqtəsi $B_2C_2$ düz xətti üzərində olacaq. Eynilə $N$ nöqtəsi $A_2C_2$ və $P$ nöqtəsi $A_2B_2$ düz xətti üzərində olacaq.

Onda  $\triangle A_2CP \sim \triangle BCC_1$ olduğu üçün

$\dfrac{A_2P}{BC_1} = \dfrac{CP}{CC_1}$

$\triangle B_2CP \sim \triangle ACC_1$ olduğu üçün

$\dfrac{B_2P}{AC_1} = \dfrac{CP}{CC_1}$

Bu iki bərabərlikdən alırıq ki,

$\dfrac{A_2P}{BC_1} = \dfrac{B_2P}{AC_1} \Rightarrow \dfrac{A_2P}{B_2P} = \dfrac{BC_1}{AC_1}$

Eynilə aşağıdakı bərabərliklər də alınır.

$\dfrac {B_2M}{C_2M} = \dfrac{CA_1}{BA_1}$; $\dfrac{C_2N}{A_2N} = \dfrac{AB_1}{CB_1}$

Alınmış üç bərabərliyi bir-birinə vursaq aşağıdakı bərabərlik alınar.

$\dfrac{AB_1}{CB_1} \cdot \dfrac{CA_1}{BA_1} \cdot \dfrac{BC_1}{AC_1} = \dfrac{C_2N}{A_2N} \cdot \dfrac{B_2M}{C_2M} \cdot \dfrac{A_2P}{B_2P}$

$A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində olduğu üçün bu bərabərliyin sol tərəfi Menelay teoreminə görə $1$-ə bərabərdir. Onda tərs Menelay teoreminə görə $\triangle A_2B_2C_2$-dən görünür ki, $M$, $N$ və $P$ nöqtələri də bir düz xətt üzərindədir. Bununla da Qauss teoremi öz isbatını tapdı.

Digər məqalələr

Apolloniy teoremi

Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Çeva teoremi

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Napoleon teoremi

Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi

ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Papp teoremi

Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.