Yaranma tarixi: 23 Fevral, 2019

Məsələ

Tutaq ki, itibucaqlı üçbucağın 3 hündürlüyü çəkilib. Üçbucağın hər bir tərəfinin uzunluğunun qarşı təpədən hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsinə qədər məsafəsinə nisbətləri hasılınin bu nisbətlərin cəminə bərabər olduğunu isbat edin. Şəkildəki üçbucağa baxsanız, aşağıdakı bərabərliyi isbat etmək lazımdır.

$\dfrac{AB}{CO} + \dfrac{BC}{AO} + \dfrac{CA}{BO} = \dfrac{AB}{CO} \cdot  \dfrac{BC}{AO} \cdot \dfrac{CA}{BO}$

Həlli

Əvvəlcə şərtləşək ki, $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ dedikdə əsas üçbucağın təpə bucaqları nəzərdə tutulacaq. Şəklə diqqət yetirsək görərik ki, $\angle COE$ və $\angle A$-nin tərəfləri perpendikulyardir. Deməli, bu bucaqlar bərabərdir. Eynilə $\angle BOD = \angle C$ və $\angle AOF = \angle B$.

Onda, oxşarlığın birinci əlamətinə görə aşağıdakı üçbucaqlar oxşardır.

$\triangle ABE \sim \triangle OCE\\
\triangle BCF  \sim \triangle OAF \\
\triangle CAD \sim \triangle OBD $        

Birinci iki üçbucaqların oxşarlığı bizə aşağıdakı nisbəti verir.

$\dfrac{AB}{CO}= \dfrac{BE}{CE}$

$\dfrac{BE}{CE}$ isə $\triangle CBE$-də $\angle C$-nin tangensidir. Eyni mülahizələri digər iki cut oxşar düzbucaqlı üçbucaqlar üçün aparsaq aşağıdakı ifadələri alarıq.

$\dfrac{AB}{CO}= \dfrac{BE}{CE} = \mbox{tg} C\\
\dfrac{BC}{AO}=\dfrac{CF}{AF}= \mbox{tg} A\\
\dfrac{CA}{BO}=\dfrac{AD}{BD}= \mbox{tg} B$

Beləliklə, bizə lazım olam bütün münasibətləri üçbucağın bucaqlarının tangensləri ilə ifadə etmiş oluruq. Bizim isbat edəcəyimiz bərabərlik isə aşağıdakı triqonometrik bərabərliyə çevrildi.

$\mbox{tg} A + \mbox{tg} B + \mbox{tg} C = \mbox{tg} A \cdot \mbox{tg} B \cdot \mbox{tg} C$

Bu bucaqların hər üçü üçbucağın daxili bucaqları olduğu üçün onların cəmi $\pi$-yə bərabərdir. Bu hal üçün isə düstur artıq isbat edilib.

Digər məqalələr

Oxşar üçbucaqların xassələri

Oxşar üçbucaqların perimetrlərinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalına bərabərdir. Oxşar üçbucaqlarının xətti elementlərinin nisbəti üçbucaqların oxşarlıq əmsalına bərabərdir.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.