Yaranma tarixi: 01 İyul, 2017

Perpendikulyar və mail

Perpendikulyar

Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla  əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq ($90°$) olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Çəkilmiş xəttə isə perpendikulyar deyilir. 

Teorem: Düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə həmişə perpendikulyar endirmək olar və bu perpendikulyar yeganədir.

İsbatı: Əvvəlcə isbat edək ki, perpendikulyar mövcuddur. Gördüyünüz şəkli $AB$ xətti üzrə qatlayıb (xəyali olaraq, monitoru qatlamaq lazım deyil) $M$ nöqtəsinin düşdüyü yeri $M'$ ilə işarələyək. $M$ və $M'$ nöqtələri $AB$-yə nəzərən simmetrikdir. Bu nöqtələri birləşdirsək $MM'$  parçası $AB$-ni hər hansı $O$ nöqtəsində kəsəcək. Göstərək ki, $AB$ və $MM'$ perpendikulyardır.  Doğrudan da $\angle MOB = \angle BOM'$. Çünki şəkli $AB$ xəttinə nəzərən qatlayanda $M$ və $M'$ bir-birinin üzərinə düşür. Digər tərəfdən bu bucaqlar qonşu bucaqlardır, deməli cəmləri $180°$-yə bərabərdir. Aldıq ki, $\angle MOB = \angle BOM' = 90°$, yəni $AB \perp MM'$.

İndi bu perpendikulyarın yeganəliyini isbat edək. Yenə şəkli $AB$ xəti üzrə qatlasaq bucaqların bərabər olduğundan $MO$ perpendikulyarı öz davamı olan $OM'$ üzərinə düşəcək. Əgər $M$ nöqtəsindən ikinci perpendikulyar keçirmək olsaydı o da $M'$ üzərinə düşərdi. Lakin $M$ və $M'$ nöqtələrindən yalnız bir düz xətt keçirmək olar. Beləliklə $MM'$ xətti $M$ nöqtəsindən $AB$ xəttinə endirilən yeganə perpendikulyardır.

O nöqtəsinə bu perpendikulyarın oturacağı deyilir.

Nəticə: Düz xətt üzərində olan nöqtədən də bu düz xəttə yalnız bir perpendikulyar keçirmək olar.

Bunun üçün həmin nöqtəyə perpendikulyar olan bucağın təpəsini elə qoyaq ki, tərəfi həmin xətt üzərinə düşsün.  Bu elə bizə lazım olan perpendikulyarı verir. Deməli nöqtə düz xəttin üzərində və xaricində olmasından asılı olmayaraq bu nöqtədən həmin xəttə yeganə perpendikulyar çəkmək olar. Nöqtə düz xətt xaricində olarsa “perpendikulyar endirilir”,  nöqtə düz xətt üzərində olarsa “perpendikulyar qaldırılır”.

Mail

Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla  əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan ($90°$) fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.

Teorem: Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə perpendikulyar və mail çəkilərsə, mail həmişə perpendikulyardan üzün olacaq.

İsbatı: $M$ nöqtəsindən $AB$-yə perpendikulyar və mail çəkək. Yenə şəkli xəyalımızda $AB$ xəti üzrə qatlasaq (monitora dəymirik) $M$ nöqtəsi $M'$ üzərinə $MO$ xətti $MO'$ üzərinə düşəcək. Bu arada $MC$ də $M'C$ üzərinə düşəcək. Deməli $MC=M'C'$. $MCM'$ sınıq xətti $MM'$ parçasından həmişə uzundur.

$MCM' = 2MC, MM'=2MO$

$MCM' > MM' \Rightarrow 2MC > 2MO \Rightarrow MC > MO$

Teorem: Bir nöqtədən çəkilmiş iki mailin hansının proyeksiyası daha uzundursa, bu mail özü də uzundur.

İsbatı: $M$ nöqtəsindən iki mail çəkək. Biri $C$, digəri $D$ nöqtəsində $AB$ xətti ilə kəsişir. Şəkli $AB$ üzrə qatlasaq, alınan proyeksiyada $M$ nöqtəsi $M'$ nöqtəsinə, $MC$ xətti, $M'C$ xəttinə və $MD$ xətti $M'D$ xəttinə keçər. Aldığımız iki sınıq xətdən

$MCM' < MDM' \Rightarrow 2MC < 2MD \Rightarrow MC < MD$

Əgər maillər $MO$ perpendikulyarından müxtəlif tərəflərdə çəkilərsə bu dəfə əvvəl şəkli $MM'$  üzrə qatlayıb eyni yarımmüstəvilərə proyeksiyalayırıq.  Sonra da eyni mühakiməni yürüdürük.

Teorem: Əgər xəttə iki bərabər mail çəksək və onlar perpendikulyara nəzərən müxtəlif yarımmüstəvilərdə yerləşərsə, onların proyeksiyaları da perpendikulyarın oturacağına nəzərən müxtəlif tərəflərdə yerləşib  bərabər olacaq.

İsbatı: Əvvəlki teoremə görə bu proyeksiyalar bərabər olmasa onlardan birinin maili də o birinə bərabər olmazdı. Şərtə görə isə $MA = MB$. Ona görə $AO = AB$.

Bu isbat olunan teoremdən aşağıdakı teorem nəticə kimi çıxır.

Teorem: Parçanın ortasından qaldırılan perpendikulyar bu parçanın uclarından eyni məsafədə olan nöqtələrin həndəsi yeridir.

Digər məqalələr

Paralel xətlər

Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Çoxbucaqlı

Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

Tək və cüt funksiyalar

Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur. Tək funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti də əksinə dəyişir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Paraleloqram

Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Qurma məsələləri

Qurma məsələsi dedikdə həmişə fiqurun yalnız xətkeş və pərgarın köməyilə qurulması nəzərdə tutulur. Xətkeş vasitəsilə yalnız düz xətt çəkmək mümkündür. Xətkeş vasitəsilə ölçmə əməliyyatı aparmaq olmaq. Pərgar vasitəsilə çevrə çəkmək, və ya xətt üzərində verilmiş ölçülü parça ayırmaq mümkündür.