Yaranma tarixi: 25 Mart, 2019

Natural ədədlər

hesab ədədlər

 

Əşyaları sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir. $1, 2, 3, …$ ədədlərinin hamısı natural ədədlərdir. Bu ədədləri müsbət tam ədədlər də adlandırırlar. Sıfır ($0$) isə natural ədəd deyil. Natural ədədləri çoxluq kimi $\mathbb{N}$ ilə işarə edirlər. $a$ ədədinin natural ədəd olması riyazi dildə $a \in \mathbb{N}$ kimi yazılır.

Natural ədədlərin cəmi və hasili həmişə natural ədəd verir. Məsələn, $3+5=8$, $3 \cdot 5=15$.

Natural ədədlərin fərqi o zaman natural ədəd verir ki, çıxılan ədəd azalandan kiçik olsun. Məsələn, $8-6=2$. Əgər çıxılan azalana bərabər və ya odan böyük olarsa, fərq natural ədəd olmayacaq.

İki natural ədədi bölərkən də həmişə natural ədəd alınmır. Əgər bir natural ədədi digərinə bölərkən nəticədə natural ədəd alınarsa, deyirlər ki, birinci ədəd ikinciyə tam bölünür. Məsələn, $9$ ədədi $3$ ədədinə tam bölünür.  Bu zaman $3$ ədədi $9$ ədədinin böləni adlanır. Çox vaxt “tam bölünür” əvəzinə elə “bölünür” deyirlər. $8$ ədədi $4$-ə bölünür. $7$ ədədi $3$-ə bölünmür.

Natural ədədləri kiçik latın hərfləri ilə işarə edirlər ($a, b, c, …$).

Xassə: Əgər $m$, $n$ və $k$ natural ədədlərdirsə ($m, n, k \in \mathbb{N}$) və $m$ ədədi $n$-ə, $n$ isə $k$-ya bölünürsə, onda $m$ ədədi də $k$-ya bölünür.

Məsələn, $81$ ədədi $27$-yə, $27$ isə $9$-a bölünür. Deməli, $81$ də $9$-a bölünür.

Hər bir natural ədəd $1$-ə və özünə bölünür.

$p:1=p, \ p:p=1; p \in \mathbb{N}$

Məsələ 1: Əgər $n$ natural ədədi $p \ (p>1)$ natural ədədinə bölünürsə, isbat edin ki, $n+1$ ədədi $p$-yə bölünmür.

Həlli: Əgər $n$ ədədi $p$-yə bölünürsə, onda  onu $n=p \cdot k$ şəklində yazmaq olar. Burada $k$ da natural ədəddir. Onda $p$-yə bölünən növbəti ədəd $p \cdot k+p$ olmalıdır. $p>1$ olduğu halda $p \cdot k +1$ ədədi heç cürə $p$-yə bölünə bilməz.

Məsələ 2: İlk $99$ dənə natural ədəd götürülüb. $1, 2, 3, … ,99$. Aralarındakı vergül işarələrini götürüb ardıcıl yazmaqla yeni bir ədəd alınıb.
a) alınan ədəddə neçə dəfə $0, 1, 2, 3, …, 9$ rəqəmlərinə rast gəlinir?
b) bu ədəd $9$-a bölünürmü?

Həlli: Bizim baxacağımız ədəd $1234567891011 … 9899$-dur.
a) Bu ədəddə ilk $0$ rəqəmi 11-ci yerdədir, çünki natural ədədlərdən ilk sıfırla bitəni $10$ ədədidir. Növbəti sıfırla bitən ədəd $20$, daha sonra $30$-dir. Beləliklə, 9 dənə sıfır olacaq.

İndi $1$ rəqəmini axtaraq. Birinci rəqəm $1$-dir. Daha sonra təklik şəklində $1$ rəqəmi, $11$, $21$, $31$, ..., $91$ ədədlərində iştirak edir. Beləliklə 10 yerdə $1$ rəqəmi təklik şəklində iştirak etmiş olur. İndi onluq şəklində iştirak etdiyi halları sayaq. $10$, $11$, $12$, … , $19$. Burada da $1$ rəqəminə onluq şəklinə 10 dəfə rast gəlinir. Deməli ümumilikdə $1$ rəqəminə 20 dəfə rast gəlinir.

Eyni mülahizələri $2$, $3$, …, $9$ rəqəmləri üçün də aparsaq görərik ki, bunların hər biri 20 dəfə iştirak edir.

b) Əvvəlcə istənilən ədədin $9$-a bölünməsi şərtini tapaq. $9$-dan sonra ilk $9$-a bölünən ədəd $18$, daha sonra $27$, $36$, …, $99$-dur. Fikir versəniz, görərsiniz ki, bu ədədlərin cəmi də $9$-a bölünür. Üçrəqəmli ədədlərə baxsaq, görərik ki, $108$, $117$, $126$, …, $999$ hamısı həmin şərti ödəyir. Deməli aldığımız ədədin rəqəmlərinin cəmi $9$-a bölünərsə, həmin ədəd özü də $9$-a bölünəcək.

Bu ədədləri yarıdan iki yerə bölsək ortada $50$ ədədi qalacaq. $50$ ədədindən bir ədəd solda və sağda qalan ədədləri toplasaq $100$ alarıq ($49+51=100$). İki ədəd solda və sağda gələn ədədlərin cəmi də $100$ olacaq ($48+52=100$ ). Daha sonra $47+53=100$ və s. alınacaq. Beləliklə 49 dənə $100$-lük alınacaq. Bunları cəmləyib üzərinə ortada qalan $50$-ni gəlsək $4950$ ədədini alarıq. Bu ədədin də rəqəmlərinin cəmi $9+4+5=18$ olacaq. $18$ isə $9$-a bölünür. Deməli axtarılan ədəd də $9$-a bölünür.

Ardıcıl gələn $n \ (n\geqslant 2)$ sayda natural ədədlərin hasilinə faktorial deyilir. $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot (n-1) \cdot n$ hasili $n!$ kimi işarə edilir və n-faktorial oxunur. Məsələn,

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Məsələ 3: Aşağıdakı ədədlərin sonunda neçə dənə sıfır ($0$) var?

a) $10!$, b) $50!$, c) $100!$

Həlli:

a) $10!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Bu hasilə əvvəldən baxaq. Soldan vura-vura gəlsək, əvvəl $2$, sonra $6$, daha sonra $24$ və $120$ alarıq. Deməli ilk dəfə sonda sıfır $5$-ə vurmada alındı. Bu sıfır daha itməyəcək. Çünki biz sona qədər vurma əməli yerinə yetiririk. Ona gərə sonda olan sıfırların sayı yalnız arta bilər. Növbəti hasillərdə sonda $0$ bir də $10$-a vurmada olacaq. Deməli, $10!$ ədədinin sonunda 2 sıfır olacaq.

b) Yuxarıdakı üsulu artıq $50!$ üçün təsəvvür etmək bir az çətindir. Lakin yuxarıda əldə etdiyimiz təcrübə köməyimizə gələcək. $10!$ ədədinin bütün vuruqlarını sadə vuruqlara ayırsaq aşağıdakı hasili alarıq.

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)$

$10$ vuruğunu almaq üçün bizə $5$ və $2$ lazımdır. $2$ -lərin sayı kifayət qədərdir. Ona görə nə qədər $5$ varsa, o qədər də $10$ almış olacağıq. Doğrudan da $10!$ ədədinin sonunda gördük ki 2 dənə sıfır var. Eynilə $50!$-ın vuruqlarını sadə vuruqlara ayırsaq yalnız aşağıdakı ədədlərdə 5 vuruğunun olduğunu görərik.

$5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$, $45$, $50$

Burada $25$ və $50$ ədədlərinin vuruqlarında 2 dənə $5$ var. Qalanlarında isə yalnız 1 dənədir. Deməli, $50!$ ədədinin vuruqlarının özlərini sadə vuruqlara ayıranda 12 dənə $5$ alınacaq. Yəni bu ədəddə sonda 12 sıfır olacaq.

c) $100!$ ədədini $50! \cdot 51 \cdot 52 \cdot … \cdot 100$ kimi yazsaq görərik ki, bizi əslində $51$-dən $100$-ə qədər ədədlərin hasili maraqlandırır. Bu hasildəki vuruqların özlərini sadə vuruqlarına ayırsaq yenə 10 dənə $5$-ə bölünən ədəd olduğunu görərik.

$55$, $60$, $65$, $70$, $75$, $80$, $85$, $90$, $95$, $100$

Bu ədədlərdən $75$ və $100$-ün sadə vuruqlarında $5$ ədədi 2 dəfə iştirak edir. Qalanlarında isə yalnız 1 dəfə iştirak edir. Deməli, faktorialın bu hissəsində də 12 dənə $5$ vuruq kimi iştirak edir. 12 dənə də $5$ artıq $50!$-da var idi. Yəni nəticədə 24 dənə sıfır olacaq.

Qeyd: Məqalənin yazılışında bu dərslik kitabından istifadə edilib: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра 7 класс

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Digər məqalələr