Yaranma tarixi: 11 Mart, 2018

Nagel nöqtəsi

Xristian Henri fon Nagel (28 fevral 1803 – 27 oktyabr 1882) alman riyaziyyatçısı olub. O, üçbucaq həndəsəsinə dair 6 əsər yazıb ki,  bu əsərləri birləşdirdiyi kitabın adını “Müasir üçbucaq nəzəriyyəsinin yaradılışı” qoyub. Bu məqalədə biz sonradan Nagel nöqtəsi adını alan, üçbucaq daxilində bir nöqtənin müvcudluğunu isbat edəcəyik.

Teorem: Üçbucağın tərəflərinə xaricdən daxilə çəkilmiş çevrələrin bu tərəflərə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirərkən alınan parçalar bir nöqtədə kəsişir. Həmin nöqtəyə üçbucağın Nagel nöqtəsi deyilir.

İsbatı: Biz Nagel nöqtəsinin mövcudluğunu isbat etməliyik. Şəklə baxın. Xaricdə daxilə çəkilmiş çevrənin xassəsinə görə əgər $\triangle ABC$-nin perimetrinin yarısı $p$-yə bərabərdirsə, onda

$AC+EC = p \Rightarrow EC = p- AC\\
AC+AM =p \Rightarrow AM=p- AC$

Yəni, $EC=AM$.

Eyni mülahizəni $BC+MB$ və $BC+CH$ üçün aparsaq $MB=CH$,
$AB+HA$ və $AB+BE$ üçün aparsaq $HA=BE$ alarıq.

Aldığımız bərabərlikləri tərəf-tərəfə vuraq.

$EC \cdot MB \cdot HA = AM \cdot CH \cdot BE \Rightarrow \\[10pt] \Rightarrow \dfrac{EC}{CH} \cdot \dfrac{HA}{AM} \cdot \dfrac{MB}{BE}=1$

Tərs Çeva teoreminə görə bu o deməkdir ki, $AE$, $BH$ və $CM$ bir nöqtədə kəsişir. Həmin nöqtə Nagel nöqtəsidir. Teorem isbat olundu.

Digər məqalələr

Karno düsturu

İtibucaqlı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzindən onun tərəflərinə qədər olan məsafələrin cəmi, həmin üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları cəminə bərabərdir. Bu düstur Fransız riyazıyyatçısı, hərbi mühəndis və dövlət xadimi, Lazar Karnonun adı ilə bağlıdır.

Xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə

Üçbucağın xaricindən daxilə çəkilmiş çevrə (və ya xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə) elə çevrədir ki, üçbucağın bir tərəfinə xaricdən toxunur, digər iki tərəfin isə uzantılarına toxunur. Xaricdə daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi toxunduğu tərəfin qarşısındakı daxili bucağının tənböləni ilə digər iki xarici bucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.