Yaranma tarixi: 16 Mart, 2018

Morli teoremi

Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir.

Morli teoremi: İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

İsbatı: İsbat üçün $XYZ$ bərabərtərəfli üçbucağını götürək. Onun hər tərəfinə görə simmetrik əksini qursaq $PQR$ bərabərtərəfli üçbucağını alarıq. İndi tutaq ki, bizə bucaqları $3\alpha$, $3\beta$, $3\gamma$ olan üçbucaq verilib. Onda $3\alpha+3\beta+3\gamma=180°$ olduğu üçün  $\alpha +\beta+\gamma = 60°$.

$X$ nöqtəsindən $XP$ ilə $\gamma$ bucağı əmələ gətirən şüa çəkək. $Z$ nöqtəsindən isə $ZP$ ilə $\alpha$ bucağı əmələ gətirən şüa çəkək. Bu iki şüa mütləq hansısa $B$ nöqtəsində kəsişəcək, çünki $\triangle BXZ$-in daxili bucaqlarının cəmi $180°$ olmalıdır. Deməli,

$\alpha+\angle PZX + \gamma +\angle PXZ +\angle XBZ = 180° \Rightarrow\\
\Rightarrow \alpha + \gamma + 120° + \angle XBZ = 180° \Rightarrow \\
\Rightarrow \angle XBZ = 60°-\alpha -\gamma = \beta$

Eynilə $ZA$ və $YA$ şüalarını elə çəkək ki, $\angle RZA = \beta$, $\angle RYA = \gamma$. Bu şüaların kəsişmə nöqtəsində əmələ gətirdiyi bucaq $\angle ZAY = \alpha$ olacaq.

Indi tutaq ki,  $PR$ xətti $BX$ parçasını hər hansı $S$ nöqtəsində, $AY$ parçasını isə $T$ nöqtəsində kəsir. $\triangle SXZ$ və $\triangle TYZ$-ə baxaq. Bu üçbucaqlarda $XZ=YZ$, $Z$ təpəsindəki bucaqları $60°$, $X$ və $Y$ təpələrindəki bucaqları isə $\gamma + 60°$-dir. Onda II əlamətə görə bu üçbucaqlar bərabərdir. Ona görə $SZ=TZ$. $\triangle SBZ$ və $\triangle TZA$-ya baxsaq bu üçbucaqlar iki bucağına görə oxşardır. Oxşarlıqdan alırıq ki,

$\dfrac{BZ}{ZA} = \dfrac{SZ}{TA}=\dfrac{TZ}{TA}$

Nəhayət, $\angle BZA = 180°-\alpha - \beta $, çünki $SZT$ açıq bucaqdır. Lakin $\angle ZTA = 180°-\alpha-\beta$. Onda $\triangle BZA \sim \triangle ZTA$, çünki göstərdik ki, $\angle BZA=\angle ZTA$, bu bucaqlara bitişik tərəflər isə mütənasibdir. Oxşarlıqdan aldıq ki, $\angle ZBA = \beta$, $\angle ZAB=\alpha$.

Eyni mülahizələri $X$ və $Y$ nöqtələri ətrafında aparsaq sonda bucaqları $3\alpha$, $3\beta$, $3\gamma$ olan $\triangle ABC$-ni alarıq. Bu üçbucaq teoremdə verilən üçbucağa oxşardır, yəni həmin üçbucağın da üşbölənlərinin kəsişmə nöqtələri düzgün üçbucağın təpə nöqtələridir.

Digər məqalələr

Dezarq teoremi

Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi

Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Stüart teoremi

Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.