Yaranma tarixi: 10 Yanvar, 2018

Menelay teoremi

üçbucaq Menelay

 

İskəndəriyyəli Menelay bizim eranın I əsrində Yunanıstanda yaşamış riyazıyyatçı və astronom olub. O, sferik triqonometriya üzrə bir sıra əsərlərin müəllifidir. Belə ki, “Sferika” adlı 3 kitab, “Vətərlərin hesablanması” adlı 6 kitab və “Həndəsənin başlanğıcı” adlı 3 kitabın müəllifidir. Bir çox işlərində istifadə etdiyi teorem bu gün Menelay teoremi kimi tanınır.

Menelay teoremi: Tutaq ki, düz xətt $\triangle ABC$-ni kəsir. Bu xətt $AB$ tərəfini $C_1$, $BC$ tərəfini $A_1$, $AC$ tərəfinin uzantısını isə $B_1$ nöqtəsində kəsir. Onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

İsbatı: $\triangle ABC$-nin $C$ nöqtəsindən $AB$ tərəfinə paralel xətt çəkək. Onun $B_1C_1$ xətti ilə kəsişməsini $K$ ilə işarə edək. $\triangle AC_1B_1$ və $\triangle CKB_1$-ə nəzər salaq. Onların $B_1$ təpəsindəki bucaqları eyni, $C_1$ və $K$ təpələrindəki bucaqları isə iki paralel xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan uyğun bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, iki bucağa görə $\triangle AC_1B_1 \sim \triangle CKB_1$.

Oxşarlıqdan alınır ki,

$\dfrac {AC_1}{CK} = \dfrac {B_1A}{CB_1}$

$\triangle BC_1A_1$ və $\triangle CKA_1$-də $A$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı, $B$ və $C$ təpəsindəki bucaqlar isə iki paralel düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan çarpaz bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, bu iki üçbucaq da oxşardır. Bu oxşarlıq da bizə aşağıdakı bərabərliyi verir.

$\dfrac {C_1B}{CK} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

Bu bərabərliklərdən $CK$-nı tapsaq

$CK = \dfrac{AC_1 \cdot CB_1}{B_1A} = \dfrac{C_1B \cdot A_1C}{BA_1}$

Bütün parçaların uzunluğu sıfırdan fərqli olduğu üçüm sol tərəfi sağ tərəfə bölə bilərik

$\dfrac{AC_1 \cdot CB_1 \cdot BA_1}{B_1A\cdot C_1B \cdot A_1C}=\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Tərs Menelay teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. $C_1$ nöqtəsi $AB$ tərəfində, $A_1$ nöqtəsi $BC$ tərəfində, $B_1$ nöqtəsi isə $AC$ tərəfinin uzantısı üzərindədir və aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Onda $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində yerləşir.

İsbatı: Bunun tərsini fərz edək. Tutaq ki, teoremdəki şərtin ödənməsinə baxmayaraq $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində deyil. Onda $A_1$ və $B_1$ nöqtələrindən keçən bir düz xətt çəkək. Tutaq ki, bu düz xətt $AB$ tərəfini hər hansı $C_2$ nöqtəsində kəsir. Onda Menelay teoreminə görə

$\dfrac{AC_2}{C_2B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Bu bərabərliyi teoremin şərti ilə eyniləşdirsək alarıq ki,

$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC_2}{C_2B}$

Bu isə o deməkdir ki, $C_1$ və $C_2$ nöqtələri $AB$ parçasını eyni nisbətdə bölür, yəni $C_1$ və $C_2$ üst-üstə düşür. Teorem isbat olundu.

Qeyd: Menelay teoremi və onun tərsi $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələrinin hər üçü $ABC$ üçbucağının tərəflərinin uzantısı üzərində olduğu hal üçün də doğrudur. Bunun isbatı eynilə yuxarıdakı isbat kimi üçbucaqların oxşarlığından alınır. Bunun üçün $B$ təpəsindən $AC$ tərəfinə paralel xətt çəkmək lazımdır.

$\triangle A_1KB \sim \triangle A_1B_1C \Rightarrow \dfrac{KB}{CB_1} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

$\triangle KBC_1 \sim \triangle B_1AC_1 \Rightarrow \dfrac{KB}{B_1A} = \dfrac{C_1B}{AC_1}$

Bu iki bərabərlikdən $KB$-ni tapsaq:

$KB = \dfrac{BA_1 \cdot CB_1}{A_1C}= \dfrac{C_1B \cdot B_1A}{AC_1} \Rightarrow $

$ \dfrac{AC_1 \cdot BA_1 \cdot CB_1}{C_1B \cdot A_1C \cdot B_1A}=1 \Rightarrow \dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Triqonometrik Menelay teoremi

Menelay teoremini triqonometrik şəkildə də vermək mümkündür.

Teorem: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. Bu üçbucağın $AB$ və $BC$ tərəflərində $C_1$ və $A_1$ nöqtələri verilib. $B_1$ isə $AC$ tərəfinin uzantısı üzərindədir. Bucaqları belə işarə edək.

$\alpha_1 = \angle BAA_1 , \ \alpha_2=\angle CA A_1 \\
\beta_1 = \angle CBB_1 , \ \beta_2 = \angle ABB_1 \\
\gamma_1 = \angle ACC_1 , \ \gamma_2 = \angle BCC_1$

$A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri yalnız və yalnız o zaman bir düz xətt üzərində olar ki, aşağıdakı bərabərlik ödənsin.

$\dfrac{sin \alpha_1}{sin \alpha_2} \cdot \dfrac{sin \beta_1}{sin \beta_2} \cdot \dfrac{sin \gamma_1}{sin \gamma_2} =1$

İsbatı: Menelay teoreminə görə $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri yalnız və yalnız o zaman bir düz xətt üzərində yerləşir ki, aşağıdakı şərt ödənsin.

$\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = 1$

$\triangle ABA_1$ və $\triangle ACA_1$-ə baxaq. Onlar $A$ təpəsindən çəkilmiş eyni $h$ hündürlüyünə malikdir. Bu hündürlük qarışıqlıq düşməsin deyə, şəkildə çəkilməyib. Onu təsəvvür edin. Ona görə

$\dfrac{S_{\triangle ABA_1}}{S_{\triangle ACA_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}h\cdot BA_1}{\dfrac{1}{2}h\cdot A_1C} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

Bu üçbucaqların həmçinin eyni $AA_{1}$ tərəfi var. Onda bu üçbucaqların sahəsini iki tərəf və arasındakı bucağın sinusu ilə ifadə etsək

$\dfrac{S_{\triangle ABA_1}}{S_{\triangle ACA_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BA \cdot AA_1 \cdot sin \alpha_1}{\dfrac{1}{2}AC \cdot AA_1 \cdot sin \alpha_2}=\dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2}\Rightarrow\\[20pt]
\Rightarrow \dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2}$

Eynilə $\triangle BCB_1$ və $\triangle BAB_1$ üçün alırıq ki,

$\dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{CB \ sin \beta_1}{BA \ sin \beta_2}$

$\triangle ACC_1$ və $\triangle BCC_1$-dən isə aşağıdakı bərabərlik alınır

$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC \ sin \gamma_1}{CB \ sin \gamma_2}$

Bu üç bərabərliyi bir-birinə vuraq.

$1=\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \\[15pt]
=\dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2} \cdot \dfrac{CB \ sin \beta_1}{BA \ sin \beta_2} \cdot \dfrac{AC \ sin \gamma_1}{CB \ sin \gamma_2} = \\[15pt]
=\dfrac{sin \alpha_1}{sin \alpha_2} \cdot \dfrac{sin \beta_1}{sin \beta_2} \cdot \dfrac{sin \gamma_1}{sin \gamma_2}$

Bununla da Menelay teoreminin triqonometrik şəkli isbat olundu.

 

Digər məqalələr