Дата создания:
Понятие многофокусных эллипсов (часть III)
эллипс
Уравнения-неравенства, образующиe один эллипс
Уравнения-неравенства, задающие все шесть участков разных эллипсов
Выберем в произвольной области систему координат $XOY$ на плоскости, и произвольным образом на плоскости выберем три точки. $F_k(a_k,b_k); k=1,2,3$, являются фокусами. Выписываем уравнение прямых проходящих через эти точки.
Рисунок 4
В нормированном виде уравнения выглядят так:
1) прямая $F_1 F_2$: \[\frac{x-a_1}{a_2-a_1}=\frac{y-b_1}{b_2-b_1};\]
2) прямая $F_2 F_3$: \[\frac{x-a_2}{a_3-a_2}=\frac{y-b_2}{b_3-b_2};\]
3) прямая $F_1 F_3$: \[\frac{x-a_1}{a_3-a_1}=\frac{y-b_1}{b_3-b_1}.\]
Уравнения прямых в общем виде: $Ax+By+C=0$
Уравнения 1), 2) и 3) будут представлены в виде $Ax+By+C=0$:
Для 1) :
\[ \begin{aligned} &(x-a_1)(b_2-b_1)=(y-b_1)(a_2-a_1)\\ &(b_2-b_1)x - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1)=0 \end{aligned} \]
Для 2) :
\[ \begin{aligned} &(x-a_2)(b_3-b_2)=(y-b_2)(a_3-a_2)\\ &(b_3-b_2)x - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2)=0 \end{aligned} \]
Для 3) :
\[ \begin{aligned} &(x-a_1)(b_3-b_1)=(y-b_1)(a_3-a_1)\\ &(b_3-b_1)x - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1)=0 \end{aligned} \]
$I$ область
Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $I$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)&x - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 - \\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны (см.Рисунок 5):
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)&x - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ &(a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 5
$II$ область
Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $II$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ & (a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны (см.Рисунок 6):
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 6
$III$ область
Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $III$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ противоположны:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 7):
\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 7
$IV$ область
Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $IV$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x& - (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ &(a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 - \\ &(a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 8):
\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 8
$V$ область
Зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $V$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x& - (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_1 -\\ & (a_3-a_2)b_1 -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))<0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ противоположны (см.Рисунок 9):
\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 9
$VI$ область
И наконец, зададим произвольную точку $M(x;y)$ из $VI$ области.
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_3$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_2$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_2-b_1)x& - (a_2-a_1)y -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))((b_2-b_1)a_3 -\\ & (a_2-a_1)b_3 -((b_2-b_1)a_1-(a_2-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_2$ знаки выражений относительно прямой $F_1 F_3$ одинаковы:
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_1)x &- (a_3-a_1)y -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))((b_3-b_1)a_2 -\\ & (a_3-a_1)b_2 -((b_3-b_1)a_1-(a_3-a_1)b_1))>0 \end{aligned} \]
В точке $M(x;y)$ и в точке $F_1$ знаки выражений относительно прямой $F_2 F_3$ противоположны (см.Рисунок 10):
\[ \begin{aligned} ((b_3-b_2)x &- (a_3-a_2)y -((b_3-b_2)a_2-(a_3-a_2)b_2))((b_3-b_2)a_2 -\\ & (a_3-a_2)b_2 -((b_3-b_2)a_1-(a_3-a_2)b_1))<0 \end{aligned} \]
Рисунок 10
Выделяя нужные нам участки, получаем гладкую фигуру, которая называется трехфокусным эллипсом (см.Рисунок 11).
Рисунок 11
Примеры
Рассмотим несколько примеров, когда фокусы $F_1 F_2 F_3$ образуют:
а) прямоугольный треугольник:
б) тупоугольный треугольник:
в) равнобедренный треугольник (горизогтальный, сплюснутый):
г) равнобедренный треугольник (вертикальный, вытянутый):
д) равносторонний треугольник:
Замечание 2.
Наглядно Пример д) показывает, что если фокусы образуют правильную фигуру, то образованная фигура из трехфокусного эллипса превращается в окружность.
Полный текст статьи в формате PDF
Автор статьи: Алиева Захра
Читайте также
Понятие многофокусных эллипсов (часть II)
Вторая часть статьи про Многофокусные эллипсы. Определение трехфокусного эллипса, теорема, доказательство и заключение
Понятие многофокусных эллипсов (часть I)
Излагаемая работа посвящена трехфокусному и многофокусному эллипсу. Здесь будет приведено, как построение этих эллипсов, так и аналитический вид уравнения этих эллипсов, что является первичной публикацией в этом направлении.
© Все права защищены
Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.